समाधान {l}{y=6x}{x+y+y=315.9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x } \\ { x + y + y = 315.9 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=24.3$$

$$y=145.8$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 6x घटाउनुहोस्।

$$y-6x=0$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2y प्राप्त गर्नको लागि y र y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+2y=315.9$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y-6x=0$$

समीकरणको दुबैतिर 6x जोड्नुहोस्।

$$y=6x$$

6x लाई y ले अर्को समीकरण 2y+x=315.9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\times 6x+x=315.9$$

2 लाई 6x पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$12x+x=315.9$$

x मा 12x जोड्नुहोस्

$$13x=315.9$$

दुबैतिर 13 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=24.3$$

y=6x मा x लाई 24.3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=6\times 24.3$$

6 लाई 24.3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=145.8$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=145.8,x=24.3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 6x घटाउनुहोस्।

$$y-6x=0$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2y प्राप्त गर्नको लागि y र y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+2y=315.9$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{6}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}\times 315.9\\\frac{1}{13}\times 315.9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{729}{5}\\\frac{243}{10}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 6x घटाउनुहोस्।

$$y-6x=0$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2y प्राप्त गर्नको लागि y र y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+2y=315.9$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

y र 2y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2y+2\left(-6\right)x=0,2y+x=315.9$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2y-12x=0,2y+x=315.9$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2y-12x=0 बाट 2y+x=315.9 घटाउनुहोस्।

$$2y-2y-12x-x=-315.9$$

-2y मा 2y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2y र -2y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-12x-x=-315.9$$

-x मा -12x जोड्नुहोस्

$$-13x=-315.9$$

दुबैतिर -13 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{243}{10}$$

2y+x=315.9 मा x लाई \frac{243}{10} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2y+\frac{243}{10}=315.9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{243}{10} घटाउनुहोस्।

$$2y=\frac{1458}{5}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{729}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$