समाधान {l}{y=2x-4}{x+2y-1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 4 } \\ { x + 2 y - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y-2x=-4$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 1 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$x+2y=1$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y-2x=-4$$

समीकरणको दुबैतिर 2x जोड्नुहोस्।

$$y=2x-4$$

-4+2x लाई y ले अर्को समीकरण 2y+x=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(2x-4\right)+x=1$$

2 लाई -4+2x पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x-8+x=1$$

x मा 4x जोड्नुहोस्

$$5x-8=1$$

समीकरणको दुबैतिर 8 जोड्नुहोस्।

$$5x=9$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{5}$$

y=2x-4 मा x लाई \frac{9}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=2\times \frac{9}{5}-4$$

2 लाई \frac{9}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{18}{5}-4$$

\frac{18}{5} मा -4 जोड्नुहोस्

$$y=-\frac{2}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y-2x=-4$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 1 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$x+2y=1$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-4\right)+\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}\left(-4\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y-2x=-4$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 1 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$x+2y=1$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

y र 2y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2y+2\left(-2\right)x=2\left(-4\right),2y+x=1$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2y-4x=-8,2y+x=1$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2y-4x=-8 बाट 2y+x=1 घटाउनुहोस्।

$$2y-2y-4x-x=-8-1$$

-2y मा 2y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2y र -2y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-4x-x=-8-1$$

-x मा -4x जोड्नुहोस्

$$-5x=-8-1$$

-1 मा -8 जोड्नुहोस्

$$-5x=-9$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{5}$$

2y+x=1 मा x लाई \frac{9}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2y+\frac{9}{5}=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{9}{5} घटाउनुहोस्।

$$2y=-\frac{4}{5}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{2}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$