समाधान {l}{y=2x-1}{5x-3y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 1 } \\ { 5 x - 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=2$$

$$y=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y-2x=-1$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y-2x=-1,-3y+5x=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y-2x=-1$$

समीकरणको दुबैतिर 2x जोड्नुहोस्।

$$y=2x-1$$

2x-1 लाई y ले अर्को समीकरण -3y+5x=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-3\left(2x-1\right)+5x=1$$

-3 लाई 2x-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-6x+3+5x=1$$

5x मा -6x जोड्नुहोस्

$$-x+3=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3 घटाउनुहोस्।

$$-x=-2$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=2$$

y=2x-1 मा x लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=2\times 2-1$$

2 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=4-1$$

4 मा -1 जोड्नुहोस्

$$y=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=3,x=2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y-2x=-1$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y-2x=-1,-3y+5x=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-2\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-1\right)-2\\-3\left(-1\right)-1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=3,x=2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y-2x=-1$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y-2x=-1,-3y+5x=1$$

y र -3y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3y-3\left(-2\right)x=-3\left(-1\right),-3y+5x=1$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-3y+6x=3,-3y+5x=1$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -3y+6x=3 बाट -3y+5x=1 घटाउनुहोस्।

$$-3y+3y+6x-5x=3-1$$

3y मा -3y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -3y र 3y राशी रद्द हुन्छन्।

$$6x-5x=3-1$$

-5x मा 6x जोड्नुहोस्

$$x=3-1$$

-1 मा 3 जोड्नुहोस्

$$x=2$$

-3y+5x=1 मा x लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-3y+5\times 2=1$$

5 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3y+10=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 10 घटाउनुहोस्।

$$-3y=-9$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=3,x=2$$