समाधान {l}{y=x+1/2+3}{y=2x+10}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x + 1 } { 2 } + 3 } \\ { y = 2 x + 10 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। \frac{1}{2}x+\frac{1}{2} प्राप्त गर्न x+1 को प्रत्येकलाई 2 ले विभाजन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

\frac{7}{2} प्राप्त गर्नको लागि \frac{1}{2} र 3 जोड्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

\frac{7+x}{2} लाई y ले अर्को समीकरण y-2x=10 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}-2x=10$$

-2x मा \frac{x}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{7}{2} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{3}{2}x=\frac{13}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{3}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=-\frac{13}{3}$$

y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2} मा x लाई -\frac{13}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{13}{3}\right)+\frac{7}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{1}{2} लाई -\frac{13}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$y=-\frac{13}{6}+\frac{7}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{7}{2} लाई -\frac{13}{6} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=\frac{4}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। \frac{1}{2}x+\frac{1}{2} प्राप्त गर्न x+1 को प्रत्येकलाई 2 ले विभाजन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

\frac{7}{2} प्राप्त गर्नको लागि \frac{1}{2} र 3 जोड्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

दुवै छेउबाट \frac{1}{2}x घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y-2x=10$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2},y-2x=10$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times \frac{7}{2}-\frac{1}{3}\times 10\\\frac{2}{3}\times \frac{7}{2}-\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। \frac{1}{2}x+\frac{1}{2} प्राप्त गर्न x+1 को प्रत्येकलाई 2 ले विभाजन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

\frac{7}{2} प्राप्त गर्नको लागि \frac{1}{2} र 3 जोड्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

दुवै छेउबाट \frac{1}{2}x घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y-2x=10$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2},y-2x=10$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2} बाट y-2x=10 घटाउनुहोस्।

$$y-y-\frac{1}{2}x+2x=\frac{7}{2}-10$$

-y मा y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै y र -y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-\frac{1}{2}x+2x=\frac{7}{2}-10$$

2x मा -\frac{x}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{3}{2}x=\frac{7}{2}-10$$

-10 मा \frac{7}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{3}{2}x=-\frac{13}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{3}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=-\frac{13}{3}$$

y-2x=10 मा x लाई -\frac{13}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y-2\left(-\frac{13}{3}\right)=10$$

-2 लाई -\frac{13}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y+\frac{26}{3}=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{26}{3} घटाउनुहोस्।

$$y=\frac{4}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$