समाधान {l}{y=1/2x+4}{x-y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 4 } \\ { x - y = 8 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=24$$

$$y=16$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{1}{2}x घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y-\frac{1}{2}x=4,-y+x=8$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{x}{2} जोड्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{2}x+4$$

\frac{x}{2}+4 लाई y ले अर्को समीकरण -y+x=8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(\frac{1}{2}x+4\right)+x=8$$

-1 लाई \frac{x}{2}+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{2}x-4+x=8$$

x मा -\frac{x}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{1}{2}x-4=8$$

समीकरणको दुबैतिर 4 जोड्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x=12$$

दुबैतिर 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x=24$$

y=\frac{1}{2}x+4 मा x लाई 24 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=\frac{1}{2}\times 24+4$$

\frac{1}{2} लाई 24 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=12+4$$

12 मा 4 जोड्नुहोस्

$$y=16$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=16,x=24$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{1}{2}x घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y-\frac{1}{2}x=4,-y+x=8$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\left(-1\right)\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-\frac{1}{2}\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-\frac{1}{2}\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 4+8\\2\times 4+2\times 8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=16,x=24$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{1}{2}x घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y-\frac{1}{2}x=4,-y+x=8$$

y र -y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-y-\left(-\frac{1}{2}x\right)=-4,-y+x=8$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-y+\frac{1}{2}x=-4,-y+x=8$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -y+\frac{1}{2}x=-4 बाट -y+x=8 घटाउनुहोस्।

$$-y+y+\frac{1}{2}x-x=-4-8$$

y मा -y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -y र y राशी रद्द हुन्छन्।

$$\frac{1}{2}x-x=-4-8$$

-x मा \frac{x}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{1}{2}x=-4-8$$

-8 मा -4 जोड्नुहोस्

$$-\frac{1}{2}x=-12$$

दुबैतिर -2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x=24$$

-y+x=8 मा x लाई 24 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-y+24=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 24 घटाउनुहोस्।

$$-y=-16$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=16$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=16,x=24$$