समाधान {l}{x^2+2y^2=8}{y=m(x-2)+sqrt{2}}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 8 } \\ { y = m ( x - 2 ) + \sqrt { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}\text{, }y=\frac{\sqrt{2}\left(-2m|\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}m+1\right)}{2}|-\sqrt{2}m+1\right)}{2m^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}\text{, }y=\frac{\sqrt{2}\left(2m|\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}m+1\right)}{2}|-\sqrt{2}m+1\right)}{2m^{2}+1}$$

प्रतिस्थापन र वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। m लाई x-2 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y=mx-2m+\sqrt{2}$$

mx-2m+\sqrt{2} लाई y ले अर्को समीकरण x^{2}+2y^{2}=8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x^{2}+2\left(mx-2m+\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

mx-2m+\sqrt{2} वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}+2\left(m^{2}x^{2}+2m\left(-2m+\sqrt{2}\right)x+\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

2 लाई m^{2}x^{2}+2m\left(-2m+\sqrt{2}\right)x+\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x^{2}+2m^{2}x^{2}+4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)x+2\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

2m^{2}x^{2} मा x^{2} जोड्नुहोस्

$$\left(2m^{2}+1\right)x^{2}+4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)x+2\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$\left(2m^{2}+1\right)x^{2}+4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)x+2\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}-8=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 1+2m^{2} ले, b लाई 2\times 2m\left(-2m+\sqrt{2}\right) ले र c लाई -4+8m^{2}-8m\sqrt{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±\sqrt{\left(4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)\right)^{2}-4\left(2m^{2}+1\right)\left(8m^{2}-8\sqrt{2}m-4\right)}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

2\times 2m\left(-2m+\sqrt{2}\right) वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±\sqrt{16m^{2}\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}-4\left(2m^{2}+1\right)\left(8m^{2}-8\sqrt{2}m-4\right)}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

-4 लाई 1+2m^{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±\sqrt{16m^{2}\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}+\left(-8m^{2}-4\right)\left(8m^{2}-8\sqrt{2}m-4\right)}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

-4-8m^{2} लाई -4+8m^{2}-8m\sqrt{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±\sqrt{16m^{2}\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}-64m^{4}+64\sqrt{2}m^{3}+32\sqrt{2}m+16}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

16+32m\sqrt{2}-64m^{4}+64m^{3}\sqrt{2} मा 16m^{2}\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±\sqrt{32m^{2}+32\sqrt{2}m+16}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

16+32m^{2}+32m\sqrt{2} को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

2 लाई 1+2m^{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}}{4m^{2}+2}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}}{4m^{2}+2} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 4\sqrt{1+2m^{2}+2m\sqrt{2}} मा -4m\left(-2m+\sqrt{2}\right) जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)+4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}}{4m^{2}+2}$$

-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)+4\sqrt{1+2m^{2}+2m\sqrt{2}} लाई 2+4m^{2} ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}}{4m^{2}+2} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। -4m\left(-2m+\sqrt{2}\right) बाट 4\sqrt{1+2m^{2}+2m\sqrt{2}} घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{8m^{2}-4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-4\sqrt{2}m}{4m^{2}+2}$$

8m^{2}-4m\sqrt{2}-4\sqrt{1+2m^{2}+2m\sqrt{2}} लाई 2+4m^{2} ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}$$

x: \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}+\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}} र \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}-\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}} का दुईवटा समाधानहरु छन्। दुबै समीकरणहरूलाई समाधान गर्ने समीकरण y को लागि सँगैको समाधान पत्ता लगाउन समीकरण y=mx-2m+\sqrt{2} मा \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}+\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}} लाई x ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y=m\times \frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}-2m+\sqrt{2}$$

m लाई \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}+\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}m-2m+\sqrt{2}$$

अब समीकरण y=mx-2m+\sqrt{2} मा x लाई \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}-\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस् र दुबै समीकरणहरूमा मिल्ने y को समाधान निकाल्न हल गर्नुहोस्।

$$y=m\times \frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}-2m+\sqrt{2}$$

m लाई \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}-\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}m-2m+\sqrt{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}m-2m+\sqrt{2},x=\frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}\text{ or }y=\frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}m-2m+\sqrt{2},x=\frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस् (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}\text{, }y=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2\left(\sqrt{2}m+1\right)^{2}}-\sqrt{2}m+1\right)}{2m^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}\text{, }y=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2\left(\sqrt{2}m+1\right)^{2}}-\sqrt{2}m+1\right)}{2m^{2}+1}\text{, }&m\neq -\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ and }m\neq \frac{\sqrt{2}i}{2}\\x=-\frac{\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}-4}{2m\left(-2m+\sqrt{2}\right)}\text{, }y=\frac{2m^{2}-2\sqrt{2}m+3}{-2m+\sqrt{2}}\text{, }&m=-\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ or }m=\frac{\sqrt{2}i}{2}\end{matrix}\right.$$