समाधान {l}{x+y=40}{x/20-y/5=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 40 } \\ { \frac { x } { 20 } - \frac { y } { 5 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=36$$

$$y=4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 20,5 को लघुत्तम समापवर्त्यक 20 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x-4y=20$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=40,x-4y=20$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=40$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+40$$

-y+40 लाई x ले अर्को समीकरण x-4y=20 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-y+40-4y=20$$

-4y मा -y जोड्नुहोस्

$$-5y+40=20$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 40 घटाउनुहोस्।

$$-5y=-20$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=4$$

x=-y+40 मा y लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-4+40$$

-4 मा 40 जोड्नुहोस्

$$x=36$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=36,y=4$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 20,5 को लघुत्तम समापवर्त्यक 20 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x-4y=20$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=40,x-4y=20$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\20\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\20\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\20\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-1}&-\frac{1}{-4-1}\\-\frac{1}{-4-1}&\frac{1}{-4-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\20\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\20\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 40+\frac{1}{5}\times 20\\\frac{1}{5}\times 40-\frac{1}{5}\times 20\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=36,y=4$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 20,5 को लघुत्तम समापवर्त्यक 20 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x-4y=20$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=40,x-4y=20$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर x+y=40 बाट x-4y=20 घटाउनुहोस्।

$$x-x+y+4y=40-20$$

-x मा x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै x र -x राशी रद्द हुन्छन्।

$$y+4y=40-20$$

4y मा y जोड्नुहोस्

$$5y=40-20$$

-20 मा 40 जोड्नुहोस्

$$5y=20$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=4$$

x-4y=20 मा y लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x-4\times 4=20$$

-4 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x-16=20$$

समीकरणको दुबैतिर 16 जोड्नुहोस्।

$$x=36$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=36,y=4$$