समाधान {l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a}

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 2b थप्नुहोस्।

$$a+2b=15$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 2a थप्नुहोस्।

$$2a-5b+2a=15$$

4a प्राप्त गर्नको लागि 2a र 2a लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$4a-5b=15$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$a+2b=15$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2b घटाउनुहोस्।

$$a=-2b+15$$

-2b+15 लाई a ले अर्को समीकरण 4a-5b=15 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

4 लाई -2b+15 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-8b+60-5b=15$$

-5b मा -8b जोड्नुहोस्

$$-13b+60=15$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 60 घटाउनुहोस्।

$$-13b=-45$$

दुबैतिर -13 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=\frac{45}{13}$$

a=-2b+15 मा b लाई \frac{45}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

-2 लाई \frac{45}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

-\frac{90}{13} मा 15 जोड्नुहोस्

$$a=\frac{105}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 2b थप्नुहोस्।

$$a+2b=15$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 2a थप्नुहोस्।

$$2a-5b+2a=15$$

4a प्राप्त गर्नको लागि 2a र 2a लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$4a-5b=15$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 2b थप्नुहोस्।

$$a+2b=15$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 2a थप्नुहोस्।

$$2a-5b+2a=15$$

4a प्राप्त गर्नको लागि 2a र 2a लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$4a-5b=15$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

a र 4a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

सरल गर्नुहोस्।

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 4a+8b=60 बाट 4a-5b=15 घटाउनुहोस्।

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

-4a मा 4a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 4a र -4a राशी रद्द हुन्छन्।

$$8b+5b=60-15$$

5b मा 8b जोड्नुहोस्

$$13b=60-15$$

-15 मा 60 जोड्नुहोस्

$$13b=45$$

दुबैतिर 13 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=\frac{45}{13}$$

4a-5b=15 मा b लाई \frac{45}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

-5 लाई \frac{45}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{225}{13} जोड्नुहोस्।

$$4a=\frac{420}{13}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{105}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$