समाधान {l}{8x-5y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$8x-5y=10$$

समीकरणको दुबैतिर 5y जोड्नुहोस्।

$$8x=5y+10$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

\frac{1}{8} लाई 10+5y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

\frac{5}{4}+\frac{5y}{8} लाई x ले अर्को समीकरण 6x-4y=11 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

6 लाई \frac{5}{4}+\frac{5y}{8} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

-4y मा \frac{15y}{4} जोड्नुहोस्

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{15}{2} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

दुबैतिर -4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-14$$

x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4} मा y लाई -14 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

\frac{5}{8} लाई -14 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{4} लाई -\frac{35}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{15}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

8x र 6x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

सरल गर्नुहोस्।

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 48x-30y=60 बाट 48x-32y=88 घटाउनुहोस्।

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

-48x मा 48x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 48x र -48x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-30y+32y=60-88$$

32y मा -30y जोड्नुहोस्

$$2y=60-88$$

-88 मा 60 जोड्नुहोस्

$$2y=-28$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-14$$

6x-4y=11 मा y लाई -14 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

-4 लाई -14 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6x+56=11$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 56 घटाउनुहोस्।

$$6x=-45$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{15}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$