समाधान {l}{8x-3y=3}{5x-2y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 3 y = 3 } \\ { 5 x - 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=9$$

$$y=23$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8x-3y=3,5x-2y=-1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$8x-3y=3$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$8x=3y+3$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{8}\left(3y+3\right)$$

\frac{1}{8} लाई 3+3y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{8}y+\frac{3}{8}$$

\frac{3+3y}{8} लाई x ले अर्को समीकरण 5x-2y=-1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(\frac{3}{8}y+\frac{3}{8}\right)-2y=-1$$

5 लाई \frac{3+3y}{8} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{15}{8}y+\frac{15}{8}-2y=-1$$

-2y मा \frac{15y}{8} जोड्नुहोस्

$$-\frac{1}{8}y+\frac{15}{8}=-1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{15}{8} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{1}{8}y=-\frac{23}{8}$$

दुबैतिर -8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=23$$

x=\frac{3}{8}y+\frac{3}{8} मा y लाई 23 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{3}{8}\times 23+\frac{3}{8}$$

\frac{3}{8} लाई 23 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{69+3}{8}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{3}{8} लाई \frac{69}{8} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=9$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=9,y=23$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8x-3y=3,5x-2y=-1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}8&-3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}8&-3\\5&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{8\left(-2\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{8\left(-2\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{8}{8\left(-2\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 3-3\left(-1\right)\\5\times 3-8\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\23\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=9,y=23$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$8x-3y=3,5x-2y=-1$$

8x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\times 8x+5\left(-3\right)y=5\times 3,8\times 5x+8\left(-2\right)y=8\left(-1\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$40x-15y=15,40x-16y=-8$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 40x-15y=15 बाट 40x-16y=-8 घटाउनुहोस्।

$$40x-40x-15y+16y=15+8$$

-40x मा 40x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 40x र -40x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-15y+16y=15+8$$

16y मा -15y जोड्नुहोस्

$$y=15+8$$

8 मा 15 जोड्नुहोस्

$$y=23$$

5x-2y=-1 मा y लाई 23 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x-2\times 23=-1$$

-2 लाई 23 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5x-46=-1$$

समीकरणको दुबैतिर 46 जोड्नुहोस्।

$$5x=45$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=9$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=9,y=23$$