समाधान {l}{7x+8y=-1}{5x-y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = - 1 } \\ { 5 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1$$

$$y=-1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7x+8y=-1,5x-y=6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$7x+8y=-1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8y घटाउनुहोस्।

$$7x=-8y-1$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y-1\right)$$

\frac{1}{7} लाई -8y-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{8}{7}y-\frac{1}{7}$$

\frac{-8y-1}{7} लाई x ले अर्को समीकरण 5x-y=6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-\frac{8}{7}y-\frac{1}{7}\right)-y=6$$

5 लाई \frac{-8y-1}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{40}{7}y-\frac{5}{7}-y=6$$

-y मा -\frac{40y}{7} जोड्नुहोस्

$$-\frac{47}{7}y-\frac{5}{7}=6$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{7} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{47}{7}y=\frac{47}{7}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{47}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-1$$

x=-\frac{8}{7}y-\frac{1}{7} मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{8}{7}\left(-1\right)-\frac{1}{7}$$

-\frac{8}{7} लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{8-1}{7}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{1}{7} लाई \frac{8}{7} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=-1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$7x+8y=-1,5x-y=6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}7&8\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}7&8\\5&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-8\times 5}&-\frac{8}{7\left(-1\right)-8\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-1\right)-8\times 5}&\frac{7}{7\left(-1\right)-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&\frac{8}{47}\\\frac{5}{47}&-\frac{7}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}\left(-1\right)+\frac{8}{47}\times 6\\\frac{5}{47}\left(-1\right)-\frac{7}{47}\times 6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=1,y=-1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$7x+8y=-1,5x-y=6$$

7x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\times 7x+5\times 8y=5\left(-1\right),7\times 5x+7\left(-1\right)y=7\times 6$$

सरल गर्नुहोस्।

$$35x+40y=-5,35x-7y=42$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 35x+40y=-5 बाट 35x-7y=42 घटाउनुहोस्।

$$35x-35x+40y+7y=-5-42$$

-35x मा 35x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 35x र -35x राशी रद्द हुन्छन्।

$$40y+7y=-5-42$$

7y मा 40y जोड्नुहोस्

$$47y=-5-42$$

-42 मा -5 जोड्नुहोस्

$$47y=-47$$

दुबैतिर 47 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-1$$

5x-y=6 मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x-\left(-1\right)=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$5x=5$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=-1$$