समाधान {l}{7x+6y=14}{5x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 6 y = 14 } \\ { 5 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{19}{11} = 1\frac{8}{11} \approx 1.727272727$$

$$y=\frac{7}{22}\approx 0.318181818$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7x+6y=14,5x-2y=8$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$7x+6y=14$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6y घटाउनुहोस्।

$$7x=-6y+14$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{7}\left(-6y+14\right)$$

\frac{1}{7} लाई -6y+14 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{6}{7}y+2$$

-\frac{6y}{7}+2 लाई x ले अर्को समीकरण 5x-2y=8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-\frac{6}{7}y+2\right)-2y=8$$

5 लाई -\frac{6y}{7}+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{30}{7}y+10-2y=8$$

-2y मा -\frac{30y}{7} जोड्नुहोस्

$$-\frac{44}{7}y+10=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 10 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{44}{7}y=-2$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{44}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{7}{22}$$

x=-\frac{6}{7}y+2 मा y लाई \frac{7}{22} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{6}{7}\times \frac{7}{22}+2$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{6}{7} लाई \frac{7}{22} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{11}+2$$

-\frac{3}{11} मा 2 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{19}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{19}{11},y=\frac{7}{22}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$7x+6y=14,5x-2y=8$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}7&6\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}7&6\\5&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&6\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-6\times 5}&-\frac{6}{7\left(-2\right)-6\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-6\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-6\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{3}{22}\\\frac{5}{44}&-\frac{7}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 14+\frac{3}{22}\times 8\\\frac{5}{44}\times 14-\frac{7}{44}\times 8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{11}\\\frac{7}{22}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{19}{11},y=\frac{7}{22}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$7x+6y=14,5x-2y=8$$

7x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\times 7x+5\times 6y=5\times 14,7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 8$$

सरल गर्नुहोस्।

$$35x+30y=70,35x-14y=56$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 35x+30y=70 बाट 35x-14y=56 घटाउनुहोस्।

$$35x-35x+30y+14y=70-56$$

-35x मा 35x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 35x र -35x राशी रद्द हुन्छन्।

$$30y+14y=70-56$$

14y मा 30y जोड्नुहोस्

$$44y=70-56$$

-56 मा 70 जोड्नुहोस्

$$44y=14$$

दुबैतिर 44 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{7}{22}$$

5x-2y=8 मा y लाई \frac{7}{22} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x-2\times \frac{7}{22}=8$$

-2 लाई \frac{7}{22} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5x-\frac{7}{11}=8$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7}{11} जोड्नुहोस्।

$$5x=\frac{95}{11}$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{19}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{19}{11},y=\frac{7}{22}$$