समाधान {l}{6x-y=4}{4x-5y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - y = 4 } \\ { 4 x - 5 y = - 6 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1$$

$$y=2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6x-y=4,4x-5y=-6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$6x-y=4$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$6x=y+4$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{6}\left(y+4\right)$$

\frac{1}{6} लाई y+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}$$

\frac{y}{6}+\frac{2}{3} लाई x ले अर्को समीकरण 4x-5y=-6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}\right)-5y=-6$$

4 लाई \frac{y}{6}+\frac{2}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-5y=-6$$

-5y मा \frac{2y}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{13}{3}y+\frac{8}{3}=-6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{8}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{26}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{13}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=2$$

x=\frac{1}{6}y+\frac{2}{3} मा y लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{6}\times 2+\frac{2}{3}$$

\frac{1}{6} लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1+2}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{2}{3} लाई \frac{1}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6x-y=4,4x-5y=-6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}6&-1\\4&-5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{6\left(-5\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{6\left(-5\right)-\left(-4\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}&-\frac{1}{26}\\\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}\times 4-\frac{1}{26}\left(-6\right)\\\frac{2}{13}\times 4-\frac{3}{13}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=1,y=2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$6x-y=4,4x-5y=-6$$

6x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 6x+4\left(-1\right)y=4\times 4,6\times 4x+6\left(-5\right)y=6\left(-6\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$24x-4y=16,24x-30y=-36$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 24x-4y=16 बाट 24x-30y=-36 घटाउनुहोस्।

$$24x-24x-4y+30y=16+36$$

-24x मा 24x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 24x र -24x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-4y+30y=16+36$$

30y मा -4y जोड्नुहोस्

$$26y=16+36$$

36 मा 16 जोड्नुहोस्

$$26y=52$$

दुबैतिर 26 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=2$$

4x-5y=-6 मा y लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x-5\times 2=-6$$

-5 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x-10=-6$$

समीकरणको दुबैतिर 10 जोड्नुहोस्।

$$4x=4$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=2$$