समाधान {l}{6x=7y+4}{2x-14y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x = 7 y + 4 } \\ { 2 x - 14 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{9}{10}=0.9$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 7y घटाउनुहोस्।

$$6x-7y=4$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 1 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$2x-14y=-1$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$6x-7y=4$$

समीकरणको दुबैतिर 7y जोड्नुहोस्।

$$6x=7y+4$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{6}\left(7y+4\right)$$

\frac{1}{6} लाई 7y+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}$$

\frac{7y}{6}+\frac{2}{3} लाई x ले अर्को समीकरण 2x-14y=-1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}\right)-14y=-1$$

2 लाई \frac{7y}{6}+\frac{2}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{7}{3}y+\frac{4}{3}-14y=-1$$

-14y मा \frac{7y}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{35}{3}y+\frac{4}{3}=-1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{4}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{35}{3}y=-\frac{7}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{35}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{1}{5}$$

x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3} मा y लाई \frac{1}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{7}{6}\times \frac{1}{5}+\frac{2}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{7}{6} लाई \frac{1}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{7}{30}+\frac{2}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{2}{3} लाई \frac{7}{30} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{10}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 7y घटाउनुहोस्।

$$6x-7y=4$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 1 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$2x-14y=-1$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&\frac{6}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{35}&-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4-\frac{1}{10}\left(-1\right)\\\frac{1}{35}\times 4-\frac{3}{35}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 7y घटाउनुहोस्।

$$6x-7y=4$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 1 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$2x-14y=-1$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

6x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 6x+2\left(-7\right)y=2\times 4,6\times 2x+6\left(-14\right)y=6\left(-1\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$12x-14y=8,12x-84y=-6$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12x-14y=8 बाट 12x-84y=-6 घटाउनुहोस्।

$$12x-12x-14y+84y=8+6$$

-12x मा 12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 12x र -12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-14y+84y=8+6$$

84y मा -14y जोड्नुहोस्

$$70y=8+6$$

6 मा 8 जोड्नुहोस्

$$70y=14$$

दुबैतिर 70 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{5}$$

2x-14y=-1 मा y लाई \frac{1}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x-14\times \frac{1}{5}=-1$$

-14 लाई \frac{1}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-\frac{14}{5}=-1$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{14}{5} जोड्नुहोस्।

$$2x=\frac{9}{5}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{10}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$