समाधान {l}{6x+5y=2.27}{5x+4y=-1.8}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 2.27 } \\ { 5 x + 4 y = - 1.8 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-18.08$$

$$y=22.15$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6x+5y=2.27,5x+4y=-1.8$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$6x+5y=2.27$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$6x=-5y+2.27$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+2.27\right)$$

\frac{1}{6} लाई -5y+2.27 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{227}{600}$$

-\frac{5y}{6}+\frac{227}{600} लाई x ले अर्को समीकरण 5x+4y=-1.8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{227}{600}\right)+4y=-1.8$$

5 लाई -\frac{5y}{6}+\frac{227}{600} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{25}{6}y+\frac{227}{120}+4y=-1.8$$

4y मा -\frac{25y}{6} जोड्नुहोस्

$$-\frac{1}{6}y+\frac{227}{120}=-1.8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{227}{120} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{1}{6}y=-\frac{443}{120}$$

दुबैतिर -6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{443}{20}$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{227}{600} मा y लाई \frac{443}{20} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{443}{20}+\frac{227}{600}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{5}{6} लाई \frac{443}{20} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{443}{24}+\frac{227}{600}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{227}{600} लाई -\frac{443}{24} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{452}{25}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{452}{25},y=\frac{443}{20}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6x+5y=2.27,5x+4y=-1.8$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}6&5\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.27\\-1.8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}6&5\\5&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.27\\-1.8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.27\\-1.8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.27\\-1.8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{6\times 4-5\times 5}&-\frac{5}{6\times 4-5\times 5}\\-\frac{5}{6\times 4-5\times 5}&\frac{6}{6\times 4-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2.27\\-1.8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2.27\\-1.8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 2.27+5\left(-1.8\right)\\5\times 2.27-6\left(-1.8\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18.08\\22.15\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-18.08,y=22.15$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$6x+5y=2.27,5x+4y=-1.8$$

6x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\times 6x+5\times 5y=5\times 2.27,6\times 5x+6\times 4y=6\left(-1.8\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$30x+25y=11.35,30x+24y=-10.8$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 30x+25y=11.35 बाट 30x+24y=-10.8 घटाउनुहोस्।

$$30x-30x+25y-24y=11.35+10.8$$

-30x मा 30x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 30x र -30x राशी रद्द हुन्छन्।

$$25y-24y=11.35+10.8$$

-24y मा 25y जोड्नुहोस्

$$y=11.35+10.8$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर 11.35 लाई 10.8 मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=22.15$$

5x+4y=-1.8 मा y लाई 22.15 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x+4\times 22.15=-1.8$$

4 लाई 22.15 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5x+88.6=-1.8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 88.6 घटाउनुहोस्।

$$5x=-90.4$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-18.08$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-18.08,y=22.15$$