समाधान {l}{57*190=9A+45B}{289.168=45A+285B}

$$\left. \begin{array} { l } { 57 \cdot 190 = 9 A + 45 B } \\ { 289.168 = 45 A + 285 B } \end{array} \right.$$

A, B को लागि हल गर्नुहोस्

$$A=5691.736$$

$$B = -\frac{1683151}{1875} = -897\frac{1276}{1875} \approx -897.680533333$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 10830 प्राप्त गर्नको लागि 57 र 190 गुणा गर्नुहोस्।

$$10830=9A+45B$$

साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$9A+45B=10830$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$45A+285B=289.168$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$9A+45B=10830,45A+285B=289.168$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको A लाई अलग गरी A का लागि हल गर्नुहोस्।

$$9A+45B=10830$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 45B घटाउनुहोस्।

$$9A=-45B+10830$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$A=\frac{1}{9}\left(-45B+10830\right)$$

\frac{1}{9} लाई -45B+10830 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$A=-5B+\frac{3610}{3}$$

-5B+\frac{3610}{3} लाई A ले अर्को समीकरण 45A+285B=289.168 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$45\left(-5B+\frac{3610}{3}\right)+285B=289.168$$

45 लाई -5B+\frac{3610}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-225B+54150+285B=289.168$$

285B मा -225B जोड्नुहोस्

$$60B+54150=289.168$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 54150 घटाउनुहोस्।

$$60B=-53860.832$$

दुबैतिर 60 ले भाग गर्नुहोस्।

$$B=-\frac{1683151}{1875}$$

A=-5B+\frac{3610}{3} मा B लाई -\frac{1683151}{1875} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले A लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$A=-5\left(-\frac{1683151}{1875}\right)+\frac{3610}{3}$$

-5 लाई -\frac{1683151}{1875} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$A=\frac{1683151}{375}+\frac{3610}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{3610}{3} लाई \frac{1683151}{375} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$A=\frac{711467}{125}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$A=\frac{711467}{125},B=-\frac{1683151}{1875}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 10830 प्राप्त गर्नको लागि 57 र 190 गुणा गर्नुहोस्।

$$10830=9A+45B$$

साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$9A+45B=10830$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$45A+285B=289.168$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$9A+45B=10830,45A+285B=289.168$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}9&45\\45&285\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10830\\289.168\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}9&45\\45&285\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&45\\45&285\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&45\\45&285\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&45\\45&285\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10830\\289.168\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&45\\45&285\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10830\\289.168\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&45\\45&285\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10830\\289.168\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{285}{9\times 285-45\times 45}&-\frac{45}{9\times 285-45\times 45}\\-\frac{45}{9\times 285-45\times 45}&\frac{9}{9\times 285-45\times 45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10830\\289.168\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{36}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10830\\289.168\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{36}\times 10830-\frac{1}{12}\times 289.168\\-\frac{1}{12}\times 10830+\frac{1}{60}\times 289.168\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{711467}{125}\\-\frac{1683151}{1875}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू A र B लाई ता्नुहोस्।

$$A=\frac{711467}{125},B=-\frac{1683151}{1875}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 10830 प्राप्त गर्नको लागि 57 र 190 गुणा गर्नुहोस्।

$$10830=9A+45B$$

साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$9A+45B=10830$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$45A+285B=289.168$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$9A+45B=10830,45A+285B=289.168$$

9A र 45A लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 45 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 9 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$45\times 9A+45\times 45B=45\times 10830,9\times 45A+9\times 285B=9\times 289.168$$

सरल गर्नुहोस्।

$$405A+2025B=487350,405A+2565B=2602.512$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 405A+2025B=487350 बाट 405A+2565B=2602.512 घटाउनुहोस्।

$$405A-405A+2025B-2565B=487350-2602.512$$

-405A मा 405A जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 405A र -405A राशी रद्द हुन्छन्।

$$2025B-2565B=487350-2602.512$$

-2565B मा 2025B जोड्नुहोस्

$$-540B=487350-2602.512$$

-2602.512 मा 487350 जोड्नुहोस्

$$-540B=484747.488$$

दुबैतिर -540 ले भाग गर्नुहोस्।

$$B=-\frac{1683151}{1875}$$

45A+285B=289.168 मा B लाई -\frac{1683151}{1875} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले A लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$45A+285\left(-\frac{1683151}{1875}\right)=289.168$$

285 लाई -\frac{1683151}{1875} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$45A-\frac{31979869}{125}=289.168$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{31979869}{125} जोड्नुहोस्।

$$45A=\frac{6403203}{25}$$

दुबैतिर 45 ले भाग गर्नुहोस्।

$$A=\frac{711467}{125}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$A=\frac{711467}{125},B=-\frac{1683151}{1875}$$