समाधान {l}{5y=-13-4x}{3x+6y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y = - 13 - 4 x } \\ { 3 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{143}{9} = -15\frac{8}{9} \approx -15.888888889$$

$$y = \frac{91}{9} = 10\frac{1}{9} \approx 10.111111111$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 4x थप्नुहोस्।

$$5y+4x=-13$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5y+4x=-13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$5y=-4x-13$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{5}\left(-4x-13\right)$$

\frac{1}{5} लाई -4x-13 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}$$

\frac{-4x-13}{5} लाई y ले अर्को समीकरण 6y+3x=13 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6\left(-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}\right)+3x=13$$

6 लाई \frac{-4x-13}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{24}{5}x-\frac{78}{5}+3x=13$$

3x मा -\frac{24x}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{9}{5}x-\frac{78}{5}=13$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{78}{5} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{9}{5}x=\frac{143}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{9}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=-\frac{143}{9}$$

y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5} मा x लाई -\frac{143}{9} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{143}{9}\right)-\frac{13}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{4}{5} लाई -\frac{143}{9} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$y=\frac{572}{45}-\frac{13}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{13}{5} लाई \frac{572}{45} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=\frac{91}{9}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 4x थप्नुहोस्।

$$5y+4x=-13$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-13\right)+\frac{4}{9}\times 13\\\frac{2}{3}\left(-13\right)-\frac{5}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{9}\\-\frac{143}{9}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 4x थप्नुहोस्।

$$5y+4x=-13$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

5y र 6y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6\times 5y+6\times 4x=6\left(-13\right),5\times 6y+5\times 3x=5\times 13$$

सरल गर्नुहोस्।

$$30y+24x=-78,30y+15x=65$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 30y+24x=-78 बाट 30y+15x=65 घटाउनुहोस्।

$$30y-30y+24x-15x=-78-65$$

-30y मा 30y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 30y र -30y राशी रद्द हुन्छन्।

$$24x-15x=-78-65$$

-15x मा 24x जोड्नुहोस्

$$9x=-78-65$$

-65 मा -78 जोड्नुहोस्

$$9x=-143$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{143}{9}$$

6y+3x=13 मा x लाई -\frac{143}{9} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$6y+3\left(-\frac{143}{9}\right)=13$$

3 लाई -\frac{143}{9} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6y-\frac{143}{3}=13$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{143}{3} जोड्नुहोस्।

$$6y=\frac{182}{3}$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{91}{9}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$