समाधान {l}{5x-3y=2}{4x+7y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{5}{47}\approx 0.106382979$$

$$y=-\frac{23}{47}\approx -0.489361702$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x-3y=2$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$5x=3y+2$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

\frac{1}{5} लाई 3y+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

\frac{3y+2}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 4x+7y=-3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+7y=-3$$

4 लाई \frac{3y+2}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{12}{5}y+\frac{8}{5}+7y=-3$$

7y मा \frac{12y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{47}{5}y+\frac{8}{5}=-3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{8}{5} घटाउनुहोस्।

$$\frac{47}{5}y=-\frac{23}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{47}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{23}{47}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} मा y लाई -\frac{23}{47} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{23}{47}\right)+\frac{2}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{3}{5} लाई -\frac{23}{47} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{69}{235}+\frac{2}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{2}{5} लाई -\frac{69}{235} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{47}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{3}{47}\\-\frac{4}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 2+\frac{3}{47}\left(-3\right)\\-\frac{4}{47}\times 2+\frac{5}{47}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{47}\\-\frac{23}{47}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

5x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 2,5\times 4x+5\times 7y=5\left(-3\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$20x-12y=8,20x+35y=-15$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 20x-12y=8 बाट 20x+35y=-15 घटाउनुहोस्।

$$20x-20x-12y-35y=8+15$$

-20x मा 20x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 20x र -20x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-12y-35y=8+15$$

-35y मा -12y जोड्नुहोस्

$$-47y=8+15$$

15 मा 8 जोड्नुहोस्

$$-47y=23$$

दुबैतिर -47 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{23}{47}$$

4x+7y=-3 मा y लाई -\frac{23}{47} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x+7\left(-\frac{23}{47}\right)=-3$$

7 लाई -\frac{23}{47} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x-\frac{161}{47}=-3$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{161}{47} जोड्नुहोस्।

$$4x=\frac{20}{47}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{47}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$