समाधान {l}{5x+y=9.95}{6x+6y=18.60}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9.95 } \\ { 6 x + 6 y = 18.60 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1.7125$$

$$y=1.3875$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x+y=9.95$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$5x=-y+9.95$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9.95\right)$$

\frac{1}{5} लाई -y+9.95 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}$$

-\frac{y}{5}+\frac{199}{100} लाई x ले अर्को समीकरण 6x+6y=18.6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6\left(-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}\right)+6y=18.6$$

6 लाई -\frac{y}{5}+\frac{199}{100} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{6}{5}y+\frac{597}{50}+6y=18.6$$

6y मा -\frac{6y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{24}{5}y+\frac{597}{50}=18.6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{597}{50} घटाउनुहोस्।

$$\frac{24}{5}y=\frac{333}{50}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{24}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{111}{80}$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100} मा y लाई \frac{111}{80} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{111}{80}+\frac{199}{100}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{5} लाई \frac{111}{80} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{111}{400}+\frac{199}{100}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{199}{100} लाई -\frac{111}{400} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{137}{80}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-6}&-\frac{1}{5\times 6-6}\\-\frac{6}{5\times 6-6}&\frac{5}{5\times 6-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{24}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 9.95-\frac{1}{24}\times 18.6\\-\frac{1}{4}\times 9.95+\frac{5}{24}\times 18.6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{80}\\\frac{111}{80}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

5x र 6x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6\times 5x+6y=6\times 9.95,5\times 6x+5\times 6y=5\times 18.6$$

सरल गर्नुहोस्।

$$30x+6y=59.7,30x+30y=93$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 30x+6y=59.7 बाट 30x+30y=93 घटाउनुहोस्।

$$30x-30x+6y-30y=59.7-93$$

-30x मा 30x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 30x र -30x राशी रद्द हुन्छन्।

$$6y-30y=59.7-93$$

-30y मा 6y जोड्नुहोस्

$$-24y=59.7-93$$

-93 मा 59.7 जोड्नुहोस्

$$-24y=-33.3$$

दुबैतिर -24 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{111}{80}$$

6x+6y=18.6 मा y लाई \frac{111}{80} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$6x+6\times \frac{111}{80}=18.6$$

6 लाई \frac{111}{80} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6x+\frac{333}{40}=18.6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{333}{40} घटाउनुहोस्।

$$6x=\frac{411}{40}$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{137}{80}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$