समाधान {l}{5x+3y=15}{2x-2y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 15 } \\ { 2 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{39}{16} = 2\frac{7}{16} = 2.4375$$

$$y=\frac{15}{16}=0.9375$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x+3y=15,2x-2y=3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x+3y=15$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$5x=-3y+15$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+15\right)$$

\frac{1}{5} लाई -3y+15 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{5}y+3$$

-\frac{3y}{5}+3 लाई x ले अर्को समीकरण 2x-2y=3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{3}{5}y+3\right)-2y=3$$

2 लाई -\frac{3y}{5}+3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{6}{5}y+6-2y=3$$

-2y मा -\frac{6y}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{16}{5}y+6=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{16}{5}y=-3$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{16}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{15}{16}$$

x=-\frac{3}{5}y+3 मा y लाई \frac{15}{16} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{15}{16}+3$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{5} लाई \frac{15}{16} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{9}{16}+3$$

-\frac{9}{16} मा 3 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{39}{16}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{39}{16},y=\frac{15}{16}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x+3y=15,2x-2y=3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&-\frac{3}{5\left(-2\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&\frac{5}{5\left(-2\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 15+\frac{3}{16}\times 3\\\frac{1}{8}\times 15-\frac{5}{16}\times 3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{16}\\\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{39}{16},y=\frac{15}{16}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x+3y=15,2x-2y=3$$

5x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 15,5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\times 3$$

सरल गर्नुहोस्।

$$10x+6y=30,10x-10y=15$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 10x+6y=30 बाट 10x-10y=15 घटाउनुहोस्।

$$10x-10x+6y+10y=30-15$$

-10x मा 10x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 10x र -10x राशी रद्द हुन्छन्।

$$6y+10y=30-15$$

10y मा 6y जोड्नुहोस्

$$16y=30-15$$

-15 मा 30 जोड्नुहोस्

$$16y=15$$

दुबैतिर 16 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{15}{16}$$

2x-2y=3 मा y लाई \frac{15}{16} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x-2\times \frac{15}{16}=3$$

-2 लाई \frac{15}{16} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-\frac{15}{8}=3$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{15}{8} जोड्नुहोस्।

$$2x=\frac{39}{8}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{39}{16}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{39}{16},y=\frac{15}{16}$$