समाधान {l}{5x+2y=3}{7y+12x=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 3 } \\ { 7 y + 12 x = 2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{17}{11} = 1\frac{6}{11} \approx 1.545454545$$

$$y = -\frac{26}{11} = -2\frac{4}{11} \approx -2.363636364$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x+2y=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$5x=-2y+3$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+3\right)$$

\frac{1}{5} लाई -2y+3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}$$

\frac{-2y+3}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 12x+7y=2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$12\left(-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}\right)+7y=2$$

12 लाई \frac{-2y+3}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{24}{5}y+\frac{36}{5}+7y=2$$

7y मा -\frac{24y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{36}{5} घटाउनुहोस्।

$$\frac{11}{5}y=-\frac{26}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{11}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{26}{11}$$

x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5} मा y लाई -\frac{26}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{26}{11}\right)+\frac{3}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{2}{5} लाई -\frac{26}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{52}{55}+\frac{3}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{3}{5} लाई \frac{52}{55} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{17}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-2\times 12}&-\frac{2}{5\times 7-2\times 12}\\-\frac{12}{5\times 7-2\times 12}&\frac{5}{5\times 7-2\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{12}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 2\\-\frac{12}{11}\times 3+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{11}\\-\frac{26}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

5x र 12x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 12 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$12\times 5x+12\times 2y=12\times 3,5\times 12x+5\times 7y=5\times 2$$

सरल गर्नुहोस्।

$$60x+24y=36,60x+35y=10$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 60x+24y=36 बाट 60x+35y=10 घटाउनुहोस्।

$$60x-60x+24y-35y=36-10$$

-60x मा 60x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 60x र -60x राशी रद्द हुन्छन्।

$$24y-35y=36-10$$

-35y मा 24y जोड्नुहोस्

$$-11y=36-10$$

-10 मा 36 जोड्नुहोस्

$$-11y=26$$

दुबैतिर -11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{26}{11}$$

12x+7y=2 मा y लाई -\frac{26}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$12x+7\left(-\frac{26}{11}\right)=2$$

7 लाई -\frac{26}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$12x-\frac{182}{11}=2$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{182}{11} जोड्नुहोस्।

$$12x=\frac{204}{11}$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{17}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$