समाधान {l}{4x-2y=0}{3x-3y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 0 } \\ { 3 x - 3 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=0$$

$$y=0$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x-2y=0,3x-3y=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x-2y=0$$

समीकरणको दुबैतिर 2y जोड्नुहोस्।

$$4x=2y$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\times 2y$$

\frac{1}{4} लाई 2y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}y$$

\frac{y}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 3x-3y=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\times \frac{1}{2}y-3y=0$$

3 लाई \frac{y}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{2}y-3y=0$$

-3y मा \frac{3y}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{3}{2}y=0$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{3}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=0$$

x=\frac{1}{2}y मा y लाई 0 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=0$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=0,y=0$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x-2y=0,3x-3y=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&-2\\3&-3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4\left(-3\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-3\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-3\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=0,y=0$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x-2y=0,3x-3y=0$$

4x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 4x+3\left(-2\right)y=0,4\times 3x+4\left(-3\right)y=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$12x-6y=0,12x-12y=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12x-6y=0 बाट 12x-12y=0 घटाउनुहोस्।

$$12x-12x-6y+12y=0$$

-12x मा 12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 12x र -12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-6y+12y=0$$

12y मा -6y जोड्नुहोस्

$$6y=0$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=0$$

3x-3y=0 मा y लाई 0 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x=0$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=0$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=0,y=0$$