समाधान {l}{3x-2y=2}{5x-5y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 2 } \\ { 5 x - 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-2$$

$$y=-4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x-2y=2$$

समीकरणको दुबैतिर 2y जोड्नुहोस्।

$$3x=2y+2$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+2\right)$$

\frac{1}{3} लाई 2+2y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}$$

\frac{2+2y}{3} लाई x ले अर्को समीकरण 5x-5y=10 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}\right)-5y=10$$

5 लाई \frac{2+2y}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{10}{3}y+\frac{10}{3}-5y=10$$

-5y मा \frac{10y}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{10}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{5}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-4$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3} मा y लाई -4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{2}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}$$

\frac{2}{3} लाई -4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-8+2}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{2}{3} लाई -\frac{8}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-2,y=-4$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{5}\\1&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-\frac{2}{5}\times 10\\2-\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-2,y=-4$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

3x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 2,3\times 5x+3\left(-5\right)y=3\times 10$$

सरल गर्नुहोस्।

$$15x-10y=10,15x-15y=30$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 15x-10y=10 बाट 15x-15y=30 घटाउनुहोस्।

$$15x-15x-10y+15y=10-30$$

-15x मा 15x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 15x र -15x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-10y+15y=10-30$$

15y मा -10y जोड्नुहोस्

$$5y=10-30$$

-30 मा 10 जोड्नुहोस्

$$5y=-20$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-4$$

5x-5y=10 मा y लाई -4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x-5\left(-4\right)=10$$

-5 लाई -4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5x+20=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 20 घटाउनुहोस्।

$$5x=-10$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-2,y=-4$$