समाधान {l}{3x+y=1}{4x+4y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { 4 x + 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y=\frac{5}{8}=0.625$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+y=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$3x=-y+1$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

\frac{1}{3} लाई -y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

\frac{-y+1}{3} लाई x ले अर्को समीकरण 4x+4y=3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=3$$

4 लाई \frac{-y+1}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}+4y=3$$

4y मा -\frac{4y}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{8}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{4}{3} घटाउनुहोस्।

$$\frac{8}{3}y=\frac{5}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{8}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{5}{8}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3} मा y लाई \frac{5}{8} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{5}{8}+\frac{1}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{3} लाई \frac{5}{8} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{24}+\frac{1}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{3} लाई -\frac{5}{24} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{8}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-4}&-\frac{1}{3\times 4-4}\\-\frac{4}{3\times 4-4}&\frac{3}{3\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

3x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 3x+4y=4,3\times 4x+3\times 4y=3\times 3$$

सरल गर्नुहोस्।

$$12x+4y=4,12x+12y=9$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12x+4y=4 बाट 12x+12y=9 घटाउनुहोस्।

$$12x-12x+4y-12y=4-9$$

-12x मा 12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 12x र -12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$4y-12y=4-9$$

-12y मा 4y जोड्नुहोस्

$$-8y=4-9$$

-9 मा 4 जोड्नुहोस्

$$-8y=-5$$

दुबैतिर -8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{5}{8}$$

4x+4y=3 मा y लाई \frac{5}{8} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x+4\times \frac{5}{8}=3$$

4 लाई \frac{5}{8} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x+\frac{5}{2}=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{5}{2} घटाउनुहोस्।

$$4x=\frac{1}{2}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{8}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$