समाधान {l}{3x+5y=6.5}{2x-2y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 6.5 } \\ { 2 x - 2 y = - 9 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-2$$

$$y=2.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+5y=6.5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$3x=-5y+6.5$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+6.5\right)$$

\frac{1}{3} लाई -5y+6.5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6}$$

-\frac{5y}{3}+\frac{13}{6} लाई x ले अर्को समीकरण 2x-2y=-9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6}\right)-2y=-9$$

2 लाई -\frac{5y}{3}+\frac{13}{6} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}-2y=-9$$

-2y मा -\frac{10y}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{16}{3}y+\frac{13}{3}=-9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{13}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{40}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{16}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{5}{2}$$

x=-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6} मा y लाई \frac{5}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{2}+\frac{13}{6}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{5}{3} लाई \frac{5}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{-25+13}{6}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{13}{6} लाई -\frac{25}{6} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-2\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{5}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6.5+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{1}{8}\times 6.5-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

3x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 6.5,3\times 2x+3\left(-2\right)y=3\left(-9\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6x+10y=13,6x-6y=-27$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6x+10y=13 बाट 6x-6y=-27 घटाउनुहोस्।

$$6x-6x+10y+6y=13+27$$

-6x मा 6x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6x र -6x राशी रद्द हुन्छन्।

$$10y+6y=13+27$$

6y मा 10y जोड्नुहोस्

$$16y=13+27$$

27 मा 13 जोड्नुहोस्

$$16y=40$$

दुबैतिर 16 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{5}{2}$$

2x-2y=-9 मा y लाई \frac{5}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x-2\times \frac{5}{2}=-9$$

-2 लाई \frac{5}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-5=-9$$

समीकरणको दुबैतिर 5 जोड्नुहोस्।

$$2x=-4$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$