समाधान {l}{3x+2y=13}{2x-y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 13 } \\ { 2 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=3$$

$$y=2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+2y=13,2x-y=4$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+2y=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$3x=-2y+13$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+13\right)$$

\frac{1}{3} लाई -2y+13 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{13}{3}$$

\frac{-2y+13}{3} लाई x ले अर्को समीकरण 2x-y=4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{13}{3}\right)-y=4$$

2 लाई \frac{-2y+13}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{4}{3}y+\frac{26}{3}-y=4$$

-y मा -\frac{4y}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{7}{3}y+\frac{26}{3}=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{26}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{14}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{7}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=2$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{13}{3} मा y लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{13}{3}$$

-\frac{2}{3} लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-4+13}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{13}{3} लाई -\frac{4}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3,y=2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+2y=13,2x-y=4$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 13+\frac{2}{7}\times 4\\\frac{2}{7}\times 13-\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=3,y=2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+2y=13,2x-y=4$$

3x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 13,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 4$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6x+4y=26,6x-3y=12$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6x+4y=26 बाट 6x-3y=12 घटाउनुहोस्।

$$6x-6x+4y+3y=26-12$$

-6x मा 6x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6x र -6x राशी रद्द हुन्छन्।

$$4y+3y=26-12$$

3y मा 4y जोड्नुहोस्

$$7y=26-12$$

-12 मा 26 जोड्नुहोस्

$$7y=14$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=2$$

2x-y=4 मा y लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x-2=4$$

समीकरणको दुबैतिर 2 जोड्नुहोस्।

$$2x=6$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3,y=2$$