समाधान {l}{3*a+c=5}{a-c=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 \cdot a + c = 5 } \\ { a - c = 7 } \end{array} \right.$$

a, c को लागि हल गर्नुहोस्

$$a=3$$

$$c=-4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3a+c=5,a-c=7$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3a+c=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट c घटाउनुहोस्।

$$3a=-c+5$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{3}\left(-c+5\right)$$

\frac{1}{3} लाई -c+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}$$

\frac{-c+5}{3} लाई a ले अर्को समीकरण a-c=7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}-c=7$$

-c मा -\frac{c}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{4}{3}c+\frac{5}{3}=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{5}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{4}{3}c=\frac{16}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{4}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$c=-4$$

a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3} मा c लाई -4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{5}{3}$$

-\frac{1}{3} लाई -4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=\frac{4+5}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{3} लाई \frac{4}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$a=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=3,c=-4$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3a+c=5,a-c=7$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&\frac{3}{3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र c लाई ता्नुहोस्।

$$a=3,c=-4$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3a+c=5,a-c=7$$

3a र a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3a+c=5,3a+3\left(-1\right)c=3\times 7$$

सरल गर्नुहोस्।

$$3a+c=5,3a-3c=21$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 3a+c=5 बाट 3a-3c=21 घटाउनुहोस्।

$$3a-3a+c+3c=5-21$$

-3a मा 3a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3a र -3a राशी रद्द हुन्छन्।

$$c+3c=5-21$$

3c मा c जोड्नुहोस्

$$4c=5-21$$

-21 मा 5 जोड्नुहोस्

$$4c=-16$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$c=-4$$

a-c=7 मा c लाई -4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a-\left(-4\right)=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4 घटाउनुहोस्।

$$a=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=3,c=-4$$