समाधान {l}{25x+16y=72}{-5x+4y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + 16 y = 72 } \\ { - 5 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y=2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$25x+16y=72$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 16y घटाउनुहोस्।

$$25x=-16y+72$$

दुबैतिर 25 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{25}\left(-16y+72\right)$$

\frac{1}{25} लाई -16y+72 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}$$

\frac{-16y+72}{25} लाई x ले अर्को समीकरण -5x+4y=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-5\left(-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}\right)+4y=0$$

-5 लाई \frac{-16y+72}{25} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{16}{5}y-\frac{72}{5}+4y=0$$

4y मा \frac{16y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{36}{5}y-\frac{72}{5}=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{72}{5} जोड्नुहोस्।

$$\frac{36}{5}y=\frac{72}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{36}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=2$$

x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25} मा y लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{16}{25}\times 2+\frac{72}{25}$$

-\frac{16}{25} लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-32+72}{25}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{72}{25} लाई -\frac{32}{25} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{8}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25\times 4-16\left(-5\right)}&-\frac{16}{25\times 4-16\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{25\times 4-16\left(-5\right)}&\frac{25}{25\times 4-16\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}&-\frac{4}{45}\\\frac{1}{36}&\frac{5}{36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}\times 72\\\frac{1}{36}\times 72\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

25x र -5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 25 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-5\times 25x-5\times 16y=-5\times 72,25\left(-5\right)x+25\times 4y=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-125x-80y=-360,-125x+100y=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -125x-80y=-360 बाट -125x+100y=0 घटाउनुहोस्।

$$-125x+125x-80y-100y=-360$$

125x मा -125x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -125x र 125x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-80y-100y=-360$$

-100y मा -80y जोड्नुहोस्

$$-180y=-360$$

दुबैतिर -180 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=2$$

-5x+4y=0 मा y लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-5x+4\times 2=0$$

4 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-5x+8=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$-5x=-8$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{8}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{8}{5},y=2$$