समाधान {l}{20a+3b=41}{15a+7b=45}

$$\left. \begin{array} { l } { 20 a + 3 b = 41 } \\ { 15 a + 7 b = 45 } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$b=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$20a+3b=41$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3b घटाउनुहोस्।

$$20a=-3b+41$$

दुबैतिर 20 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{20}\left(-3b+41\right)$$

\frac{1}{20} लाई -3b+41 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}$$

\frac{-3b+41}{20} लाई a ले अर्को समीकरण 15a+7b=45 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$15\left(-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}\right)+7b=45$$

15 लाई \frac{-3b+41}{20} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{9}{4}b+\frac{123}{4}+7b=45$$

7b मा -\frac{9b}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{19}{4}b+\frac{123}{4}=45$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{123}{4} घटाउनुहोस्।

$$\frac{19}{4}b=\frac{57}{4}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{19}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$b=3$$

a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20} मा b लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-\frac{3}{20}\times 3+\frac{41}{20}$$

-\frac{3}{20} लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=\frac{-9+41}{20}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{41}{20} लाई -\frac{9}{20} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$a=\frac{8}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20\times 7-3\times 15}&-\frac{3}{20\times 7-3\times 15}\\-\frac{15}{20\times 7-3\times 15}&\frac{20}{20\times 7-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}&-\frac{3}{95}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}\times 41-\frac{3}{95}\times 45\\-\frac{3}{19}\times 41+\frac{4}{19}\times 45\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

20a र 15a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 15 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 20 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$15\times 20a+15\times 3b=15\times 41,20\times 15a+20\times 7b=20\times 45$$

सरल गर्नुहोस्।

$$300a+45b=615,300a+140b=900$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 300a+45b=615 बाट 300a+140b=900 घटाउनुहोस्।

$$300a-300a+45b-140b=615-900$$

-300a मा 300a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 300a र -300a राशी रद्द हुन्छन्।

$$45b-140b=615-900$$

-140b मा 45b जोड्नुहोस्

$$-95b=615-900$$

-900 मा 615 जोड्नुहोस्

$$-95b=-285$$

दुबैतिर -95 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=3$$

15a+7b=45 मा b लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$15a+7\times 3=45$$

7 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$15a+21=45$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 21 घटाउनुहोस्।

$$15a=24$$

दुबैतिर 15 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{8}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{8}{5},b=3$$