समाधान {l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+y-7=0$$

समीकरणको दुबैतिर 7 जोड्नुहोस्।

$$2x+y=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$2x=-y+7$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

\frac{1}{2} लाई -y+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

\frac{-y+7}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 17x-11y-8=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

17 लाई \frac{-y+7}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

-11y मा -\frac{17y}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

-8 मा \frac{119}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{103}{2} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{39}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{103}{39}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2} मा y लाई \frac{103}{39} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{2} लाई \frac{103}{39} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{7}{2} लाई -\frac{103}{78} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{85}{39}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

2x र 17x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 17 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 34x+17y-119=0 बाट 34x-22y-16=0 घटाउनुहोस्।

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

-34x मा 34x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 34x र -34x राशी रद्द हुन्छन्।

$$17y+22y-119+16=0$$

22y मा 17y जोड्नुहोस्

$$39y-119+16=0$$

16 मा -119 जोड्नुहोस्

$$39y-103=0$$

समीकरणको दुबैतिर 103 जोड्नुहोस्।

$$39y=103$$

दुबैतिर 39 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{103}{39}$$

17x-11y-8=0 मा y लाई \frac{103}{39} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

-11 लाई \frac{103}{39} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

-8 मा -\frac{1133}{39} जोड्नुहोस्

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{1445}{39} जोड्नुहोस्।

$$17x=\frac{1445}{39}$$

दुबैतिर 17 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{85}{39}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$