समाधान {l}{2x+5y=17}{5x+y=31}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 5 x + y = 31 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=6$$

$$y=1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+5y=17$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$2x=-5y+17$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

\frac{1}{2} लाई -5y+17 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

\frac{-5y+17}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 5x+y=31 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+y=31$$

5 लाई \frac{-5y+17}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+y=31$$

y मा -\frac{25y}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{23}{2}y+\frac{85}{2}=31$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{85}{2} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{23}{2}y=-\frac{23}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{23}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=1$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2} मा y लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{-5+17}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{17}{2} लाई -\frac{5}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=6$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=6,y=1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times 5}&-\frac{5}{2-5\times 5}\\-\frac{5}{2-5\times 5}&\frac{2}{2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}&\frac{5}{23}\\\frac{5}{23}&-\frac{2}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}\times 17+\frac{5}{23}\times 31\\\frac{5}{23}\times 17-\frac{2}{23}\times 31\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=6,y=1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

2x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2y=2\times 31$$

सरल गर्नुहोस्।

$$10x+25y=85,10x+2y=62$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 10x+25y=85 बाट 10x+2y=62 घटाउनुहोस्।

$$10x-10x+25y-2y=85-62$$

-10x मा 10x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 10x र -10x राशी रद्द हुन्छन्।

$$25y-2y=85-62$$

-2y मा 25y जोड्नुहोस्

$$23y=85-62$$

-62 मा 85 जोड्नुहोस्

$$23y=23$$

दुबैतिर 23 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=1$$

5x+y=31 मा y लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x+1=31$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$5x=30$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=6$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=6,y=1$$