समाधान {l}{2m-3n=9}{4m+9n=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 9 } \\ { 4 m + 9 n = 21 } \end{array} \right.$$

m, n को लागि हल गर्नुहोस्

$$m = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4.8$$

$$n=\frac{1}{5}=0.2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2m-3n=9,4m+9n=21$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको m लाई अलग गरी m का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2m-3n=9$$

समीकरणको दुबैतिर 3n जोड्नुहोस्।

$$2m=3n+9$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+9\right)$$

\frac{1}{2} लाई 9+3n पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$m=\frac{3}{2}n+\frac{9}{2}$$

\frac{9+3n}{2} लाई m ले अर्को समीकरण 4m+9n=21 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(\frac{3}{2}n+\frac{9}{2}\right)+9n=21$$

4 लाई \frac{9+3n}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6n+18+9n=21$$

9n मा 6n जोड्नुहोस्

$$15n+18=21$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 18 घटाउनुहोस्।

$$15n=3$$

दुबैतिर 15 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=\frac{1}{5}$$

m=\frac{3}{2}n+\frac{9}{2} मा n लाई \frac{1}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले m लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{1}{5}+\frac{9}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{3}{2} लाई \frac{1}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$m=\frac{3}{10}+\frac{9}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{9}{2} लाई \frac{3}{10} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$m=\frac{24}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$m=\frac{24}{5},n=\frac{1}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2m-3n=9,4m+9n=21$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 9+\frac{1}{10}\times 21\\-\frac{2}{15}\times 9+\frac{1}{15}\times 21\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{24}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू m र n लाई ता्नुहोस्।

$$m=\frac{24}{5},n=\frac{1}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2m-3n=9,4m+9n=21$$

2m र 4m लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 2m+4\left(-3\right)n=4\times 9,2\times 4m+2\times 9n=2\times 21$$

सरल गर्नुहोस्।

$$8m-12n=36,8m+18n=42$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8m-12n=36 बाट 8m+18n=42 घटाउनुहोस्।

$$8m-8m-12n-18n=36-42$$

-8m मा 8m जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8m र -8m राशी रद्द हुन्छन्।

$$-12n-18n=36-42$$

-18n मा -12n जोड्नुहोस्

$$-30n=36-42$$

-42 मा 36 जोड्नुहोस्

$$-30n=-6$$

दुबैतिर -30 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=\frac{1}{5}$$

4m+9n=21 मा n लाई \frac{1}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले m लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4m+9\times \frac{1}{5}=21$$

9 लाई \frac{1}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4m+\frac{9}{5}=21$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{9}{5} घटाउनुहोस्।

$$4m=\frac{96}{5}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$m=\frac{24}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$m=\frac{24}{5},n=\frac{1}{5}$$