समाधान {l}{18x-14y=-5}{18x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x - 14 y = - 5 } \\ { 18 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{145}{144} = -1\frac{1}{144} \approx -1.006944444$$

$$y=-\frac{15}{16}=-0.9375$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$18x-14y=-5$$

समीकरणको दुबैतिर 14y जोड्नुहोस्।

$$18x=14y-5$$

दुबैतिर 18 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{18}\left(14y-5\right)$$

\frac{1}{18} लाई 14y-5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}$$

\frac{7y}{9}-\frac{5}{18} लाई x ले अर्को समीकरण 18x+2y=-20 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$18\left(\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}\right)+2y=-20$$

18 लाई \frac{7y}{9}-\frac{5}{18} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$14y-5+2y=-20$$

2y मा 14y जोड्नुहोस्

$$16y-5=-20$$

समीकरणको दुबैतिर 5 जोड्नुहोस्।

$$16y=-15$$

दुबैतिर 16 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{15}{16}$$

x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18} मा y लाई -\frac{15}{16} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{7}{9}\left(-\frac{15}{16}\right)-\frac{5}{18}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{7}{9} लाई -\frac{15}{16} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{35}{48}-\frac{5}{18}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{5}{18} लाई -\frac{35}{48} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{145}{144}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&-\frac{-14}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\\-\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}&\frac{7}{144}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}\left(-5\right)+\frac{7}{144}\left(-20\right)\\-\frac{1}{16}\left(-5\right)+\frac{1}{16}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{145}{144}\\-\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 18x-14y=-5 बाट 18x+2y=-20 घटाउनुहोस्।

$$18x-18x-14y-2y=-5+20$$

-18x मा 18x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 18x र -18x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-14y-2y=-5+20$$

-2y मा -14y जोड्नुहोस्

$$-16y=-5+20$$

20 मा -5 जोड्नुहोस्

$$-16y=15$$

दुबैतिर -16 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{15}{16}$$

18x+2y=-20 मा y लाई -\frac{15}{16} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$18x+2\left(-\frac{15}{16}\right)=-20$$

2 लाई -\frac{15}{16} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$18x-\frac{15}{8}=-20$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{15}{8} जोड्नुहोस्।

$$18x=-\frac{145}{8}$$

दुबैतिर 18 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{145}{144}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$