समाधान {l}{11x+5y=7}{6x+3y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-28$$

$$y=63$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$11x+5y=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$11x=-5y+7$$

दुबैतिर 11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

\frac{1}{11} लाई -5y+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

\frac{-5y+7}{11} लाई x ले अर्को समीकरण 6x+3y=21 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

6 लाई \frac{-5y+7}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

3y मा -\frac{30y}{11} जोड्नुहोस्

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{42}{11} घटाउनुहोस्।

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{3}{11} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=63$$

x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11} मा y लाई 63 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

-\frac{5}{11} लाई 63 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{7}{11} लाई -\frac{315}{11} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-28$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-28,y=63$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-28,y=63$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

11x र 6x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 11 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

सरल गर्नुहोस्।

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 66x+30y=42 बाट 66x+33y=231 घटाउनुहोस्।

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

-66x मा 66x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 66x र -66x राशी रद्द हुन्छन्।

$$30y-33y=42-231$$

-33y मा 30y जोड्नुहोस्

$$-3y=42-231$$

-231 मा 42 जोड्नुहोस्

$$-3y=-189$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=63$$

6x+3y=21 मा y लाई 63 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$6x+3\times 63=21$$

3 लाई 63 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6x+189=21$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 189 घटाउनुहोस्।

$$6x=-168$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-28$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-28,y=63$$