समाधान {l}{1=2r-3s}{4=3r+2s}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 = 2 r - 3 s } \\ { 4 = 3 r + 2 s } \end{array} \right.$$

r, s को लागि हल गर्नुहोस्

$$r = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

$$s=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$2r-3s=1$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$3r+2s=4$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको r लाई अलग गरी r का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2r-3s=1$$

समीकरणको दुबैतिर 3s जोड्नुहोस्।

$$2r=3s+1$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$r=\frac{1}{2}\left(3s+1\right)$$

\frac{1}{2} लाई 3s+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}$$

\frac{3s+1}{2} लाई r ले अर्को समीकरण 3r+2s=4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}\right)+2s=4$$

3 लाई \frac{3s+1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{9}{2}s+\frac{3}{2}+2s=4$$

2s मा \frac{9s}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{13}{2}s+\frac{3}{2}=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{3}{2} घटाउनुहोस्।

$$\frac{13}{2}s=\frac{5}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{13}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$s=\frac{5}{13}$$

r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2} मा s लाई \frac{5}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले r लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$r=\frac{3}{2}\times \frac{5}{13}+\frac{1}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{3}{2} लाई \frac{5}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$r=\frac{15}{26}+\frac{1}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{2} लाई \frac{15}{26} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$r=\frac{14}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$2r-3s=1$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$3r+2s=4$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}+\frac{3}{13}\times 4\\-\frac{3}{13}+\frac{2}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू r र s लाई ता्नुहोस्।

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$2r-3s=1$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$3r+2s=4$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

2r र 3r लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 2r+3\left(-3\right)s=3,2\times 3r+2\times 2s=2\times 4$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6r-9s=3,6r+4s=8$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6r-9s=3 बाट 6r+4s=8 घटाउनुहोस्।

$$6r-6r-9s-4s=3-8$$

-6r मा 6r जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6r र -6r राशी रद्द हुन्छन्।

$$-9s-4s=3-8$$

-4s मा -9s जोड्नुहोस्

$$-13s=3-8$$

-8 मा 3 जोड्नुहोस्

$$-13s=-5$$

दुबैतिर -13 ले भाग गर्नुहोस्।

$$s=\frac{5}{13}$$

3r+2s=4 मा s लाई \frac{5}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले r लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3r+2\times \frac{5}{13}=4$$

2 लाई \frac{5}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3r+\frac{10}{13}=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{10}{13} घटाउनुहोस्।

$$3r=\frac{42}{13}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$r=\frac{14}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$