समाधान {l}{-x+y=2}{2y=9x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = 2 } \\ { 2 y = 9 x + 9 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 9x घटाउनुहोस्।

$$2y-9x=9$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-x+y=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$-x=-y+2$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\left(-y+2\right)$$

-1 लाई -y+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=y-2$$

y-2 लाई x ले अर्को समीकरण -9x+2y=9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-9\left(y-2\right)+2y=9$$

-9 लाई y-2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-9y+18+2y=9$$

2y मा -9y जोड्नुहोस्

$$-7y+18=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 18 घटाउनुहोस्।

$$-7y=-9$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{9}{7}$$

x=y-2 मा y लाई \frac{9}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{9}{7}-2$$

\frac{9}{7} मा -2 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{5}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 9x घटाउनुहोस्।

$$2y-9x=9$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{9}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\\\frac{9}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 9x घटाउनुहोस्।

$$2y-9x=9$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

-x र -9x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -9 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-9\left(-1\right)x-9y=-9\times 2,-\left(-9\right)x-2y=-9$$

सरल गर्नुहोस्।

$$9x-9y=-18,9x-2y=-9$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 9x-9y=-18 बाट 9x-2y=-9 घटाउनुहोस्।

$$9x-9x-9y+2y=-18+9$$

-9x मा 9x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 9x र -9x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-9y+2y=-18+9$$

2y मा -9y जोड्नुहोस्

$$-7y=-18+9$$

9 मा -18 जोड्नुहोस्

$$-7y=-9$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{9}{7}$$

-9x+2y=9 मा y लाई \frac{9}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-9x+2\times \frac{9}{7}=9$$

2 लाई \frac{9}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-9x+\frac{18}{7}=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{18}{7} घटाउनुहोस्।

$$-9x=\frac{45}{7}$$

दुबैतिर -9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$