समाधान {l}{-x+5y=0}{3x+2y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 5 y = 0 } \\ { 3 x + 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{60}{17} = 3\frac{9}{17} \approx 3.529411765$$

$$y=\frac{12}{17}\approx 0.705882353$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-x+5y=0,3x+2y=12$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-x+5y=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$-x=-5y$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\left(-5\right)y$$

-1 लाई -5y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=5y$$

5y लाई x ले अर्को समीकरण 3x+2y=12 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\times 5y+2y=12$$

3 लाई 5y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$15y+2y=12$$

2y मा 15y जोड्नुहोस्

$$17y=12$$

दुबैतिर 17 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{12}{17}$$

x=5y मा y लाई \frac{12}{17} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=5\times \frac{12}{17}$$

5 लाई \frac{12}{17} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{60}{17}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{60}{17},y=\frac{12}{17}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-x+5y=0,3x+2y=12$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\12\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-1&5\\3&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\12\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\12\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-5\times 3}&-\frac{5}{-2-5\times 3}\\-\frac{3}{-2-5\times 3}&-\frac{1}{-2-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\12\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\12\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\times 12\\\frac{1}{17}\times 12\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{17}\\\frac{12}{17}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{60}{17},y=\frac{12}{17}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-x+5y=0,3x+2y=12$$

-x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\left(-1\right)x+3\times 5y=0,-3x-2y=-12$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-3x+15y=0,-3x-2y=-12$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -3x+15y=0 बाट -3x-2y=-12 घटाउनुहोस्।

$$-3x+3x+15y+2y=12$$

3x मा -3x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -3x र 3x राशी रद्द हुन्छन्।

$$15y+2y=12$$

2y मा 15y जोड्नुहोस्

$$17y=12$$

दुबैतिर 17 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{12}{17}$$

3x+2y=12 मा y लाई \frac{12}{17} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+2\times \frac{12}{17}=12$$

2 लाई \frac{12}{17} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+\frac{24}{17}=12$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{24}{17} घटाउनुहोस्।

$$3x=\frac{180}{17}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{60}{17}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{60}{17},y=\frac{12}{17}$$