समाधान {l}{-5x+8y=0}{-7x-8y=-96}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 8 y = 0 } \\ { - 7 x - 8 y = - 96 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=8$$

$$y=5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-5x+8y=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8y घटाउनुहोस्।

$$-5x=-8y$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{5}\left(-8\right)y$$

-\frac{1}{5} लाई -8y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{8}{5}y$$

\frac{8y}{5} लाई x ले अर्को समीकरण -7x-8y=-96 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-7\times \frac{8}{5}y-8y=-96$$

-7 लाई \frac{8y}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{56}{5}y-8y=-96$$

-8y मा -\frac{56y}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{96}{5}y=-96$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{96}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=5$$

x=\frac{8}{5}y मा y लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{8}{5}\times 5$$

\frac{8}{5} लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=8$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=8,y=5$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}&-\frac{8}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}&-\frac{5}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{96}&-\frac{5}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-96\right)\\-\frac{5}{96}\left(-96\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=8,y=5$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

-5x र -7x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -7 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-7\left(-5\right)x-7\times 8y=0,-5\left(-7\right)x-5\left(-8\right)y=-5\left(-96\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$35x-56y=0,35x+40y=480$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 35x-56y=0 बाट 35x+40y=480 घटाउनुहोस्।

$$35x-35x-56y-40y=-480$$

-35x मा 35x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 35x र -35x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-56y-40y=-480$$

-40y मा -56y जोड्नुहोस्

$$-96y=-480$$

दुबैतिर -96 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=5$$

-7x-8y=-96 मा y लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-7x-8\times 5=-96$$

-8 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-7x-40=-96$$

समीकरणको दुबैतिर 40 जोड्नुहोस्।

$$-7x=-56$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=8$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=8,y=5$$