समाधान {l}{-3y+4x=13}{-5y-6x=-67}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 y + 4 x = 13 } \\ { - 5 y - 6 x = - 67 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=7$$

$$y=5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-3y+4x=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$-3y=-4x+13$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{1}{3}\left(-4x+13\right)$$

-\frac{1}{3} लाई -4x+13 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$$

\frac{4x-13}{3} लाई y ले अर्को समीकरण -5y-6x=-67 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-5\left(\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\right)-6x=-67$$

-5 लाई \frac{4x-13}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{20}{3}x+\frac{65}{3}-6x=-67$$

-6x मा -\frac{20x}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{38}{3}x+\frac{65}{3}=-67$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{65}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{38}{3}x=-\frac{266}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{38}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=7$$

y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3} मा x लाई 7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=\frac{4}{3}\times 7-\frac{13}{3}$$

\frac{4}{3} लाई 7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{28-13}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{13}{3} लाई \frac{28}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=5,x=7$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-67\right)\\\frac{5}{38}\times 13-\frac{3}{38}\left(-67\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=5,x=7$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

-3y र -5y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-5\left(-3\right)y-5\times 4x=-5\times 13,-3\left(-5\right)y-3\left(-6\right)x=-3\left(-67\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$15y-20x=-65,15y+18x=201$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 15y-20x=-65 बाट 15y+18x=201 घटाउनुहोस्।

$$15y-15y-20x-18x=-65-201$$

-15y मा 15y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 15y र -15y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-20x-18x=-65-201$$

-18x मा -20x जोड्नुहोस्

$$-38x=-65-201$$

-201 मा -65 जोड्नुहोस्

$$-38x=-266$$

दुबैतिर -38 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=7$$

-5y-6x=-67 मा x लाई 7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-5y-6\times 7=-67$$

-6 लाई 7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-5y-42=-67$$

समीकरणको दुबैतिर 42 जोड्नुहोस्।

$$-5y=-25$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=5,x=7$$