समाधान {l}{-3x-y=2x-1}{-3(2x+5y)=x+y-30}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - y = 2 x - 1 } \\ { - 3 ( 2 x + 5 y ) = x + y - 30 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{14}{73}\approx -0.191780822$$

$$y = \frac{143}{73} = 1\frac{70}{73} \approx 1.95890411$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x प्राप्त गर्नको लागि -3x र -2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-5x-y=-1$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। -3 लाई 2x+5y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-6x-15y=x+y-30$$

दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x प्राप्त गर्नको लागि -6x र -x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-7x-15y=y-30$$

दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y प्राप्त गर्नको लागि -15y र -y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-7x-16y=-30$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-5x-y=-1$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$-5x=y-1$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{5}\left(y-1\right)$$

-\frac{1}{5} लाई y-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

\frac{-y+1}{5} लाई x ले अर्को समीकरण -7x-16y=-30 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-7\left(-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}\right)-16y=-30$$

-7 लाई \frac{-y+1}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{7}{5}y-\frac{7}{5}-16y=-30$$

-16y मा \frac{7y}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{73}{5}y-\frac{7}{5}=-30$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7}{5} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{73}{5}y=-\frac{143}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{73}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{143}{73}$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5} मा y लाई \frac{143}{73} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{143}{73}+\frac{1}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{5} लाई \frac{143}{73} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{143}{365}+\frac{1}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{5} लाई -\frac{143}{365} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{14}{73}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x प्राप्त गर्नको लागि -3x र -2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-5x-y=-1$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। -3 लाई 2x+5y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-6x-15y=x+y-30$$

दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x प्राप्त गर्नको लागि -6x र -x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-7x-15y=y-30$$

दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y प्राप्त गर्नको लागि -15y र -y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-7x-16y=-30$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{-1}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{5}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}&\frac{1}{73}\\\frac{7}{73}&-\frac{5}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}\left(-1\right)+\frac{1}{73}\left(-30\right)\\\frac{7}{73}\left(-1\right)-\frac{5}{73}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{73}\\\frac{143}{73}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x प्राप्त गर्नको लागि -3x र -2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-5x-y=-1$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। -3 लाई 2x+5y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-6x-15y=x+y-30$$

दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x प्राप्त गर्नको लागि -6x र -x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-7x-15y=y-30$$

दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y प्राप्त गर्नको लागि -15y र -y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-7x-16y=-30$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

-5x र -7x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -7 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-7\left(-5\right)x-7\left(-1\right)y=-7\left(-1\right),-5\left(-7\right)x-5\left(-16\right)y=-5\left(-30\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$35x+7y=7,35x+80y=150$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 35x+7y=7 बाट 35x+80y=150 घटाउनुहोस्।

$$35x-35x+7y-80y=7-150$$

-35x मा 35x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 35x र -35x राशी रद्द हुन्छन्।

$$7y-80y=7-150$$

-80y मा 7y जोड्नुहोस्

$$-73y=7-150$$

-150 मा 7 जोड्नुहोस्

$$-73y=-143$$

दुबैतिर -73 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{143}{73}$$

-7x-16y=-30 मा y लाई \frac{143}{73} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-7x-16\times \frac{143}{73}=-30$$

-16 लाई \frac{143}{73} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-7x-\frac{2288}{73}=-30$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{2288}{73} जोड्नुहोस्।

$$-7x=\frac{98}{73}$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{14}{73}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$