समाधान {l}{-2x+y=-1}{4x-y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + y = - 1 } \\ { 4 x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-2$$

$$y=-5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-2x+y=-1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$-2x=-y-1$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}\left(-y-1\right)$$

-\frac{1}{2} लाई -y-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

\frac{1+y}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 4x-y=-3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)-y=-3$$

4 लाई \frac{1+y}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2y+2-y=-3$$

-y मा 2y जोड्नुहोस्

$$y+2=-3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$y=-5$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} मा y लाई -5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}$$

\frac{1}{2} लाई -5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{2} लाई -\frac{5}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-2,y=-5$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{-2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{-2\left(-1\right)-4}&-\frac{2}{-2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\2\left(-1\right)-3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-2,y=-5$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

-2x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\left(-2\right)x+4y=4\left(-1\right),-2\times 4x-2\left(-1\right)y=-2\left(-3\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-8x+4y=-4,-8x+2y=6$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -8x+4y=-4 बाट -8x+2y=6 घटाउनुहोस्।

$$-8x+8x+4y-2y=-4-6$$

8x मा -8x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -8x र 8x राशी रद्द हुन्छन्।

$$4y-2y=-4-6$$

-2y मा 4y जोड्नुहोस्

$$2y=-4-6$$

-6 मा -4 जोड्नुहोस्

$$2y=-10$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-5$$

4x-y=-3 मा y लाई -5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x-\left(-5\right)=-3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5 घटाउनुहोस्।

$$4x=-8$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-2,y=-5$$