समाधान {l}{(x-2)(y+5)=(x-1)(y+2)}{(y-3)(x+4)=(x+7)(y-4)}

$$\left. \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( y + 5 ) = ( x - 1 ) ( y + 2 ) } \\ { ( y - 3 ) ( x + 4 ) = ( x + 7 ) ( y - 4 ) } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=5$$

$$y=7$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। x-2 लाई y+5 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

x-1 लाई y+2 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

दुवै छेउबाट xy घटाउनुहोस्।

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

0 प्राप्त गर्नको लागि xy र -xy लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

3x प्राप्त गर्नको लागि 5x र -2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x-2y-10=-y-2$$

दुबै छेउहरूमा y थप्नुहोस्।

$$3x-2y-10+y=-2$$

-y प्राप्त गर्नको लागि -2y र y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x-y-10=-2$$

दुबै छेउहरूमा 10 थप्नुहोस्।

$$3x-y=-2+10$$

8 प्राप्त गर्नको लागि -2 र 10 जोड्नुहोस्।

$$3x-y=8$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। y-3 लाई x+4 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

x+7 लाई y-4 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

दुवै छेउबाट xy घटाउनुहोस्।

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

0 प्राप्त गर्नको लागि yx र -xy लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

दुबै छेउहरूमा 4x थप्नुहोस्।

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

x प्राप्त गर्नको लागि -3x र 4x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$4y+x-12=7y-28$$

दुवै छेउबाट 7y घटाउनुहोस्।

$$4y+x-12-7y=-28$$

-3y प्राप्त गर्नको लागि 4y र -7y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-3y+x-12=-28$$

दुबै छेउहरूमा 12 थप्नुहोस्।

$$-3y+x=-28+12$$

-16 प्राप्त गर्नको लागि -28 र 12 जोड्नुहोस्।

$$-3y+x=-16$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x-y=8$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$3x=y+8$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

\frac{1}{3} लाई y+8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

\frac{8+y}{3} लाई x ले अर्को समीकरण x-3y=-16 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-3y=-16$$

-3y मा \frac{y}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{8}{3}y+\frac{8}{3}=-16$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{8}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{56}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{8}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=7$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3} मा y लाई 7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{3}\times 7+\frac{8}{3}$$

\frac{1}{3} लाई 7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{7+8}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{8}{3} लाई \frac{7}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=5,y=7$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। x-2 लाई y+5 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

x-1 लाई y+2 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

दुवै छेउबाट xy घटाउनुहोस्।

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

0 प्राप्त गर्नको लागि xy र -xy लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

3x प्राप्त गर्नको लागि 5x र -2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x-2y-10=-y-2$$

दुबै छेउहरूमा y थप्नुहोस्।

$$3x-2y-10+y=-2$$

-y प्राप्त गर्नको लागि -2y र y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x-y-10=-2$$

दुबै छेउहरूमा 10 थप्नुहोस्।

$$3x-y=-2+10$$

8 प्राप्त गर्नको लागि -2 र 10 जोड्नुहोस्।

$$3x-y=8$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। y-3 लाई x+4 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

x+7 लाई y-4 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

दुवै छेउबाट xy घटाउनुहोस्।

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

0 प्राप्त गर्नको लागि yx र -xy लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

दुबै छेउहरूमा 4x थप्नुहोस्।

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

x प्राप्त गर्नको लागि -3x र 4x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$4y+x-12=7y-28$$

दुवै छेउबाट 7y घटाउनुहोस्।

$$4y+x-12-7y=-28$$

-3y प्राप्त गर्नको लागि 4y र -7y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-3y+x-12=-28$$

दुबै छेउहरूमा 12 थप्नुहोस्।

$$-3y+x=-28+12$$

-16 प्राप्त गर्नको लागि -28 र 12 जोड्नुहोस्।

$$-3y+x=-16$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 8-\frac{1}{8}\left(-16\right)\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{8}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=5,y=7$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। x-2 लाई y+5 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

x-1 लाई y+2 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

दुवै छेउबाट xy घटाउनुहोस्।

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

0 प्राप्त गर्नको लागि xy र -xy लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

3x प्राप्त गर्नको लागि 5x र -2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x-2y-10=-y-2$$

दुबै छेउहरूमा y थप्नुहोस्।

$$3x-2y-10+y=-2$$

-y प्राप्त गर्नको लागि -2y र y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x-y-10=-2$$

दुबै छेउहरूमा 10 थप्नुहोस्।

$$3x-y=-2+10$$

8 प्राप्त गर्नको लागि -2 र 10 जोड्नुहोस्।

$$3x-y=8$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। y-3 लाई x+4 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

x+7 लाई y-4 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

दुवै छेउबाट xy घटाउनुहोस्।

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

0 प्राप्त गर्नको लागि yx र -xy लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

दुबै छेउहरूमा 4x थप्नुहोस्।

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

x प्राप्त गर्नको लागि -3x र 4x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$4y+x-12=7y-28$$

दुवै छेउबाट 7y घटाउनुहोस्।

$$4y+x-12-7y=-28$$

-3y प्राप्त गर्नको लागि 4y र -7y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-3y+x-12=-28$$

दुबै छेउहरूमा 12 थप्नुहोस्।

$$-3y+x=-28+12$$

-16 प्राप्त गर्नको लागि -28 र 12 जोड्नुहोस्।

$$-3y+x=-16$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

3x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3x-y=8,3x+3\left(-3\right)y=3\left(-16\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$3x-y=8,3x-9y=-48$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 3x-y=8 बाट 3x-9y=-48 घटाउनुहोस्।

$$3x-3x-y+9y=8+48$$

-3x मा 3x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3x र -3x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-y+9y=8+48$$

9y मा -y जोड्नुहोस्

$$8y=8+48$$

48 मा 8 जोड्नुहोस्

$$8y=56$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=7$$

x-3y=-16 मा y लाई 7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x-3\times 7=-16$$

-3 लाई 7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x-21=-16$$

समीकरणको दुबैतिर 21 जोड्नुहोस्।

$$x=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=5,y=7$$