समाधान {l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=5$$

$$y=-10$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 5,10 को लघुत्तम समापवर्त्यक 10 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-20=y$$

दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$2x-20-y=0$$

दुबै छेउहरूमा 20 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$2x-y=20$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 7y थप्नुहोस्।

$$5x+45+7y=0$$

दुवै छेउबाट 45 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$5x+7y=-45$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x-y=20$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$2x=y+20$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

\frac{1}{2} लाई y+20 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

\frac{y}{2}+10 लाई x ले अर्को समीकरण 5x+7y=-45 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

5 लाई \frac{y}{2}+10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

7y मा \frac{5y}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 50 घटाउनुहोस्।

$$\frac{19}{2}y=-95$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{19}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-10$$

x=\frac{1}{2}y+10 मा y लाई -10 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

\frac{1}{2} लाई -10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-5+10$$

-5 मा 10 जोड्नुहोस्

$$x=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=5,y=-10$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 5,10 को लघुत्तम समापवर्त्यक 10 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-20=y$$

दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$2x-20-y=0$$

दुबै छेउहरूमा 20 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$2x-y=20$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 7y थप्नुहोस्।

$$5x+45+7y=0$$

दुवै छेउबाट 45 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$5x+7y=-45$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=5,y=-10$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 5,10 को लघुत्तम समापवर्त्यक 10 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-20=y$$

दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$2x-20-y=0$$

दुबै छेउहरूमा 20 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$2x-y=20$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 7y थप्नुहोस्।

$$5x+45+7y=0$$

दुवै छेउबाट 45 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$5x+7y=-45$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

2x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 10x-5y=100 बाट 10x+14y=-90 घटाउनुहोस्।

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

-10x मा 10x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 10x र -10x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-5y-14y=100+90$$

-14y मा -5y जोड्नुहोस्

$$-19y=100+90$$

90 मा 100 जोड्नुहोस्

$$-19y=190$$

दुबैतिर -19 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-10$$

5x+7y=-45 मा y लाई -10 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

7 लाई -10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5x-70=-45$$

समीकरणको दुबैतिर 70 जोड्नुहोस्।

$$5x=25$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=5,y=-10$$