समाधान {l}{x/4-3/8y=3}{5/3x-y/2=12}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } - \frac { 3 } { 8 } y = 3 } \\ { \frac { 5 } { 3 } x - \frac { y } { 2 } = 12 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=6$$

$$y=-4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 4,8 को लघुत्तम समापवर्त्यक 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-3y=24$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 3,2 को लघुत्तम समापवर्त्यक 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$10x-3y=72$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x-3y=24$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$2x=3y+24$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

\frac{1}{2} लाई 24+3y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

\frac{3y}{2}+12 लाई x ले अर्को समीकरण 10x-3y=72 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$10\left(\frac{3}{2}y+12\right)-3y=72$$

10 लाई \frac{3y}{2}+12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$15y+120-3y=72$$

-3y मा 15y जोड्नुहोस्

$$12y+120=72$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 120 घटाउनुहोस्।

$$12y=-48$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-4$$

x=\frac{3}{2}y+12 मा y लाई -4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{3}{2}\left(-4\right)+12$$

\frac{3}{2} लाई -4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-6+12$$

-6 मा 12 जोड्नुहोस्

$$x=6$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=6,y=-4$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 4,8 को लघुत्तम समापवर्त्यक 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-3y=24$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 3,2 को लघुत्तम समापवर्त्यक 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$10x-3y=72$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\\-\frac{10}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 24+\frac{1}{8}\times 72\\-\frac{5}{12}\times 24+\frac{1}{12}\times 72\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=6,y=-4$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 4,8 को लघुत्तम समापवर्त्यक 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-3y=24$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 3,2 को लघुत्तम समापवर्त्यक 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$10x-3y=72$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2x-3y=24 बाट 10x-3y=72 घटाउनुहोस्।

$$2x-10x-3y+3y=24-72$$

3y मा -3y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -3y र 3y राशी रद्द हुन्छन्।

$$2x-10x=24-72$$

-10x मा 2x जोड्नुहोस्

$$-8x=24-72$$

-72 मा 24 जोड्नुहोस्

$$-8x=-48$$

दुबैतिर -8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=6$$

10x-3y=72 मा x लाई 6 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$10\times 6-3y=72$$

10 लाई 6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$60-3y=72$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 60 घटाउनुहोस्।

$$-3y=12$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=6,y=-4$$