समाधान {l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 25,10 को लघुत्तम समापवर्त्यक 50 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 27x+45y=50400$$

54 प्राप्त गर्नको लागि 2 र 27 गुणा गर्नुहोस्।

$$54x+45y=50400$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$54x+45y=50400$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 45y घटाउनुहोस्।

$$54x=-45y+50400$$

दुबैतिर 54 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

\frac{1}{54} लाई -45y+50400 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

-\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} लाई x ले अर्को समीकरण \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

\frac{11}{10} लाई -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

\frac{43y}{5} मा -\frac{11y}{12} जोड्नुहोस्

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{3080}{3} घटाउनुहोस्।

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{461}{60} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{80}{461}$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3} मा y लाई \frac{80}{461} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{5}{6} लाई \frac{80}{461} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{2800}{3} लाई -\frac{200}{1383} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{430200}{461}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 25,10 को लघुत्तम समापवर्त्यक 50 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 27x+45y=50400$$

54 प्राप्त गर्नको लागि 2 र 27 गुणा गर्नुहोस्।

$$54x+45y=50400$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 25,10 को लघुत्तम समापवर्त्यक 50 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 27x+45y=50400$$

54 प्राप्त गर्नको लागि 2 र 27 गुणा गर्नुहोस्।

$$54x+45y=50400$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

54x र \frac{11x}{10} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई \frac{11}{10} ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 54 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

सरल गर्नुहोस्।

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440 बाट \frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512 घटाउनुहोस्।

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

-\frac{297x}{5} मा \frac{297x}{5} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै \frac{297x}{5} र -\frac{297x}{5} राशी रद्द हुन्छन्।

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

-\frac{2322y}{5} मा \frac{99y}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

-55512 मा 55440 जोड्नुहोस्

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{4149}{10} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{80}{461}$$

\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028 मा y लाई \frac{80}{461} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{43}{5} लाई \frac{80}{461} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{688}{461} घटाउनुहोस्।

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{11}{10} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{430200}{461}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$