समाधान {l}{1/2x-2/3y-5=0}{3y+x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 2 } { 3 } y - 5 = 0 } \\ { 3 y + x = 6 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{114}{13} = 8\frac{10}{13} \approx 8.769230769$$

$$y=-\frac{12}{13}\approx -0.923076923$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0$$

समीकरणको दुबैतिर 5 जोड्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=5$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{2y}{3} जोड्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}y+5$$

दुबैतिर 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x=2\left(\frac{2}{3}y+5\right)$$

2 लाई \frac{2y}{3}+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{4}{3}y+10$$

\frac{4y}{3}+10 लाई x ले अर्को समीकरण x+3y=6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{4}{3}y+10+3y=6$$

3y मा \frac{4y}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{13}{3}y+10=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 10 घटाउनुहोस्।

$$\frac{13}{3}y=-4$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{13}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{12}{13}$$

x=\frac{4}{3}y+10 मा y लाई -\frac{12}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{12}{13}\right)+10$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{4}{3} लाई -\frac{12}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{16}{13}+10$$

-\frac{16}{13} मा 10 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{114}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}&\frac{4}{13}\\-\frac{6}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\times 5+\frac{4}{13}\times 6\\-\frac{6}{13}\times 5+\frac{3}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{114}{13}\\-\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

\frac{x}{2} र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई \frac{1}{2} ले गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\times 3y=\frac{1}{2}\times 6$$

सरल गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0 बाट \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3 घटाउनुहोस्।

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

-\frac{x}{2} मा \frac{x}{2} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै \frac{x}{2} र -\frac{x}{2} राशी रद्द हुन्छन्।

$$-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

-\frac{3y}{2} मा -\frac{2y}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{13}{6}y-5=-3$$

समीकरणको दुबैतिर 5 जोड्नुहोस्।

$$-\frac{13}{6}y=2$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{13}{6} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{12}{13}$$

x+3y=6 मा y लाई -\frac{12}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x+3\left(-\frac{12}{13}\right)=6$$

3 लाई -\frac{12}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x-\frac{36}{13}=6$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{36}{13} जोड्नुहोस्।

$$x=\frac{114}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$