समाधान {c}{x+y=-0.5}{-0.6x+0.7y=0.82}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = - 0.5 } \\ { - 0.6 x + 0.7 y = 0.82 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-0.9$$

$$y=0.4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=-0.5,-0.6x+0.7y=0.82$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=-0.5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y-0.5$$

-y-0.5 लाई x ले अर्को समीकरण -0.6x+0.7y=0.82 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-0.6\left(-y-0.5\right)+0.7y=0.82$$

-0.6 लाई -y-0.5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$0.6y+0.3+0.7y=0.82$$

\frac{7y}{10} मा \frac{3y}{5} जोड्नुहोस्

$$1.3y+0.3=0.82$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 0.3 घटाउनुहोस्।

$$1.3y=0.52$$

समीकरणको दुबैतिर 1.3 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=0.4$$

x=-y-0.5 मा y लाई 0.4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-0.4-0.5$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -0.5 लाई -0.4 मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-0.9$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-0.9,y=0.4$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=-0.5,-0.6x+0.7y=0.82$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-0.6&0.7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.5\\0.82\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\-0.6&0.7\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.6&0.7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-0.6&0.7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.6&0.7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5\\0.82\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.6&0.7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5\\0.82\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.6&0.7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5\\0.82\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.7}{0.7-\left(-0.6\right)}&-\frac{1}{0.7-\left(-0.6\right)}\\-\frac{-0.6}{0.7-\left(-0.6\right)}&\frac{1}{0.7-\left(-0.6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.5\\0.82\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}&-\frac{10}{13}\\\frac{6}{13}&\frac{10}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.5\\0.82\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\left(-0.5\right)-\frac{10}{13}\times 0.82\\\frac{6}{13}\left(-0.5\right)+\frac{10}{13}\times 0.82\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.9\\0.4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-0.9,y=0.4$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=-0.5,-0.6x+0.7y=0.82$$

x र -\frac{3x}{5} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -0.6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-0.6x-0.6y=-0.6\left(-0.5\right),-0.6x+0.7y=0.82$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-0.6x-0.6y=0.3,-0.6x+0.7y=0.82$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -0.6x-0.6y=0.3 बाट -0.6x+0.7y=0.82 घटाउनुहोस्।

$$-0.6x+0.6x-0.6y-0.7y=0.3-0.82$$

\frac{3x}{5} मा -\frac{3x}{5} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -\frac{3x}{5} र \frac{3x}{5} राशी रद्द हुन्छन्।

$$-0.6y-0.7y=0.3-0.82$$

-\frac{7y}{10} मा -\frac{3y}{5} जोड्नुहोस्

$$-1.3y=0.3-0.82$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर 0.3 लाई -0.82 मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$-1.3y=-0.52$$

समीकरणको दुबैतिर -1.3 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=0.4$$

-0.6x+0.7y=0.82 मा y लाई 0.4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-0.6x+0.7\times 0.4=0.82$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी 0.7 लाई 0.4 पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$-0.6x+0.28=0.82$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 0.28 घटाउनुहोस्।

$$-0.6x=0.54$$

समीकरणको दुबैतिर -0.6 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=-0.9$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-0.9,y=0.4$$