समाधान {c}{x+2y=2}{-4x+3y=25}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 2 y = 2 } \\ { - 4 x + 3 y = 25 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-4$$

$$y=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+2y=2,-4x+3y=25$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+2y=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$x=-2y+2$$

-2y+2 लाई x ले अर्को समीकरण -4x+3y=25 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-4\left(-2y+2\right)+3y=25$$

-4 लाई -2y+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$8y-8+3y=25$$

3y मा 8y जोड्नुहोस्

$$11y-8=25$$

समीकरणको दुबैतिर 8 जोड्नुहोस्।

$$11y=33$$

दुबैतिर 11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=3$$

x=-2y+2 मा y लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-2\times 3+2$$

-2 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-6+2$$

-6 मा 2 जोड्नुहोस्

$$x=-4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-4,y=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+2y=2,-4x+3y=25$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\25\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&2\\-4&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\25\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\25\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-2\left(-4\right)}&\frac{1}{3-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\25\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\25\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 2-\frac{2}{11}\times 25\\\frac{4}{11}\times 2+\frac{1}{11}\times 25\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-4,y=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+2y=2,-4x+3y=25$$

x र -4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-4x-4\times 2y=-4\times 2,-4x+3y=25$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-4x-8y=-8,-4x+3y=25$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -4x-8y=-8 बाट -4x+3y=25 घटाउनुहोस्।

$$-4x+4x-8y-3y=-8-25$$

4x मा -4x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -4x र 4x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-8y-3y=-8-25$$

-3y मा -8y जोड्नुहोस्

$$-11y=-8-25$$

-25 मा -8 जोड्नुहोस्

$$-11y=-33$$

दुबैतिर -11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=3$$

-4x+3y=25 मा y लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-4x+3\times 3=25$$

3 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-4x+9=25$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 9 घटाउनुहोस्।

$$-4x=16$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-4,y=3$$