समाधान {c}{4x+2y=50}{x+y=20}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 50 } \\ { x + y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=5$$

$$y=15$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x+2y=50,x+y=20$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x+2y=50$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$4x=-2y+50$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+50\right)$$

\frac{1}{4} लाई -2y+50 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}$$

\frac{-y+25}{2} लाई x ले अर्को समीकरण x+y=20 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}+y=20$$

y मा -\frac{y}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}=20$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{25}{2} घटाउनुहोस्।

$$\frac{1}{2}y=\frac{15}{2}$$

दुबैतिर 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=15$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2} मा y लाई 15 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{2}\times 15+\frac{25}{2}$$

-\frac{1}{2} लाई 15 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-15+25}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{25}{2} लाई -\frac{15}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=5,y=15$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x+2y=50,x+y=20$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 50-20\\-\frac{1}{2}\times 50+2\times 20\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=5,y=15$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x+2y=50,x+y=20$$

4x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4x+2y=50,4x+4y=4\times 20$$

सरल गर्नुहोस्।

$$4x+2y=50,4x+4y=80$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 4x+2y=50 बाट 4x+4y=80 घटाउनुहोस्।

$$4x-4x+2y-4y=50-80$$

-4x मा 4x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 4x र -4x राशी रद्द हुन्छन्।

$$2y-4y=50-80$$

-4y मा 2y जोड्नुहोस्

$$-2y=50-80$$

-80 मा 50 जोड्नुहोस्

$$-2y=-30$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=15$$

x+y=20 मा y लाई 15 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x+15=20$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 15 घटाउनुहोस्।

$$x=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=5,y=15$$