समाधान {c}{2x+4y=1}{5x-y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{9}{22}\approx 0.409090909$$

$$y=\frac{1}{22}\approx 0.045454545$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+4y=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$2x=-4y+1$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

\frac{1}{2} लाई -4y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

-2y+\frac{1}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 5x-y=2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-y=2$$

5 लाई -2y+\frac{1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-10y+\frac{5}{2}-y=2$$

-y मा -10y जोड्नुहोस्

$$-11y+\frac{5}{2}=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{5}{2} घटाउनुहोस्।

$$-11y=-\frac{1}{2}$$

दुबैतिर -11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{22}$$

x=-2y+\frac{1}{2} मा y लाई \frac{1}{22} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-2\times \frac{1}{22}+\frac{1}{2}$$

-2 लाई \frac{1}{22} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{11}+\frac{1}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{2} लाई -\frac{1}{11} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{22}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-1\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}+\frac{2}{11}\times 2\\\frac{5}{22}-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{22}\\\frac{1}{22}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

2x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\times 2x+5\times 4y=5,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

सरल गर्नुहोस्।

$$10x+20y=5,10x-2y=4$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 10x+20y=5 बाट 10x-2y=4 घटाउनुहोस्।

$$10x-10x+20y+2y=5-4$$

-10x मा 10x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 10x र -10x राशी रद्द हुन्छन्।

$$20y+2y=5-4$$

2y मा 20y जोड्नुहोस्

$$22y=5-4$$

-4 मा 5 जोड्नुहोस्

$$22y=1$$

दुबैतिर 22 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{22}$$

5x-y=2 मा y लाई \frac{1}{22} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x-\frac{1}{22}=2$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{1}{22} जोड्नुहोस्।

$$5x=\frac{45}{22}$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{22}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$